Большая Советская энциклопедия (На)

  Случай одного неизвестного. Пусть для оценки значения неизвестной величины m произведено n независимых наблюдений, давших результаты Y ₁ , Y ₂ ,..., Y_n , т. е. Y ₁ = m + d₁ , Y ₂ = m + d₂ ,..., Y_n = m + d_n , где d₁ , d₂ ,..., d_n — случайные ошибки (по определению, принятому в классической теории ошибок, случайные ошибки — независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием: Е d_i= 0; если же E d_i¹ 0, то Е d_i, называются систематическими ошибками). Согласно Н. к. м., в качестве оценки величины m принимают такое X, для которого будет наименьшей сумма квадратов (отсюда и само название метода):

  где p_i = k/ s_i² и s_i² = D d_i= E d_i²

(коэффициент k > 0 можно выбирать произвольно). Величину p_i называют весом, a s_i— квадратичным отклонением измерения с номером i . В частности, если все измерения равноточны, то s₁ = s₂ =... = s_n, и в этом случае можно положить p ₁ = p ₂ =... = p_n = 1; если же каждое Y_i , — арифметическое среднее из n_i , равноточных измерений, то полагают p_i = n_i .

  Сумма S (X ) будет наименьшей, если в качестве Х выбрать взвешенное среднее:

Оценка  величины m лишена систематической ошибки, имеет вес Р и дисперсию

В частности, если все измерения равноточны, то Y — арифметическое среднее результатов измерений:

  При некоторых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений n достаточно велико, то распределение оценки  мало отличается от нормального с математическим ожиданием m и дисперсией k/P . В этом случае абсолютная погрешность приближённого равенства

меньше

с вероятностью, близкой к значению интеграла

[напр., I (1,96) = 0,950; I (2,58) = 0,990; I (3,00) = 0,997].

  Если веса измерений p_i заданы, а множитель k до наблюдений остаётся неопределённым, то этот множитель и дисперсия оценки  могут быть приближённо оценены по формулам:

и

(обе оценки лишены систематических ошибок).

  В том практически важном случае, когда ошибки d_iподчиняются нормальному распределению, можно найти точное значение вероятности, с которой абсолютная погрешность приближённого равенства

окажется меньше ts (t — произвольное положительное число). Эту вероятность, как функцию от t , называют функцией распределения Стьюдента с n - 1 степенями свободы и вычисляют по формуле

где постоянная C_{n -1} выбрана таким образом, чтобы выполнялось условие: I_{n -1} (¥) = 1. При больших n формулу (2) можно заменить формулой (1). Однако применение формулы (1) при небольших n привело бы к грубым ошибкам. Так, например, согласно (1), значению I = 0,99 соответствует t = 2,58; истинные значения t , определяемые при малых n как решения соответствующих уравнений l_{n -1} (t ) = 0,99, приведены в таблице:

Пример. Для определения массы некоторого тела произведено 10 независимых равноточных взвешиваний, давших результаты Y_i (в г ):

(здесь n_i — число случаев, в которых наблюдался вес Y_i , причём n = Sn_i , = 10). Так как все взвешивания равноточные, то следует положить p_i = n_i и в качестве оценки для неизвестного веса m, выбрать величину

Задавая, например, I ₉ = 0,95, по таблицам распределения Стьюдента с девятью степенями свободы можно найти, что t = 2,262, и поэтому в качестве предельной абсолютной погрешности приближённого равенства m » 18,431 следует принять величину

  Т. о. 18,420 < m < 18,442.

  Случай нескольких неизвестных (линейные связи). Пусть n результатов измерений Y ₁ , Y ₂ ,..., Y_n связаны с m неизвестными величинами x ₁ , x ₂ ,..., х_m (m < n ) независимыми линейными отношениями

где a_ij — известные коэффициенты, а d_i— независимые случайные ошибки измерений. Требуется оценить неизвестные величины x_j (эту задачу можно рассматривать как обобщение предыдущей, в которой m = x₁ и m = a_i1 = 1; i = 1,2,..., n ).

  Так как Е d_i= 0, то средние значения результатов измерений y_i , = E y_i . связаны с неизвестными величинами x ₁ , x ₂ ,..., х_m линейными уравнениями (линейные связи):

  Следовательно, искомые величины x_j представляют собой решение системы (4), уравнения которой предполагаются совместными. Точные значения измеряемых величин y_i и случайные ошибки d_iобычно неизвестны, поэтому вместо систем (3) и (4) принято записывать так называемые условные уравнения

  Согласно Н. к. м., качестве оценок для неизвестных x_j применяют такие величины X_j , для которых сумма квадратов отклонений

будет наименьшей (как и в предыдущем случае, p_i — вес измерения Y_i , — величина, обратно пропорциональная дисперсии случайной ошибки d_i). Условные уравнения, как правило, несовместны, т. е. при любых значениях X_j разности

не могут, вообще говоря, все обратиться в нуль, и в этом случае

также не может обратиться в нуль. Н. к. м. предписывает в качестве оценок выбрать такие значения X_j , которые минимизируют сумму S . В тех исключительных случаях, когда условные уравнения совместны и, значит, обладают решением, это решение совпадает с оценками, полученными согласно Н. к. м.

  Сумма квадратов S представляет собой квадратичный многочлен относительно переменных X_j ; этот многочлен достигает минимума при таких значениях X ₁ , X ₂ ,..., Х_m , при которых обращаются в нуль все первые частные производные: