Большая Советская энциклопедия (На)

Отсюда следует, что оценки X_j , полученные согласно Н. к. м., должны удовлетворять системе так называемых нормальных уравнений, которая в обозначениях, предложенных Гауссом, имеет вид:

где

  Оценки X_j , получающиеся в результате решения системы нормальных уравнений, лишены систематических ошибок (E x_j = x_j ); дисперсии D x_j ; величин X_j равны kd_jj /d , где d — определитель системы (5), а d_jj — минор, соответствующий диагональному элементу [ра_j a_j ] (иными словами, d_jj /d — вес оценки X_j ). Если множитель пропорциональности k (k называется дисперсией на единицу веса) заранее неизвестен, то для его оценки, а также для оценки дисперсии D x_j служат формулы:

  k » S/ (n - m ) и D x_j » s² _j = Sd_jj /d (n - m )

(S — минимальное значение исходной суммы квадратов). При некоторых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений n достаточно велико, то абсолютная погрешность приближённого равенства x_i » X_j меньше ts_j с вероятностью, близкой к значению интеграла (1). Если случайные ошибки наблюдений d_iподчиняются нормальному распределению, то все отношения (X_j - x_j )/s_j распределены по закону Стьюдента с n - m степенями свободы [точная оценка абсолютной погрешности приближённого равенства производится здесь с помощью интеграла (2) так же, как в случае одного неизвестного]. Кроме того, минимальное значение суммы S в вероятностном смысле не зависит от X ₁ , X ₂ ,..., X_m и поэтому приближённые значения дисперсий оценок D x_j » s² _j не зависят от самих оценок X_j .

  Один из наиболее типичных случаев применения Н. к. м. — «выравнивание» таких результатов наблюдений Y_i , для которых в уравнениях (3) a_ij = a_j (t_i ), где a_j (t ) — известные функции некоторого параметра t (если t — время, то t ₁ , t ₂ ,... — те моменты времени, в которые производились наблюдения). Особенно часто встречается в приложениях случай так называемой параболической интерполяции, когда a_j (t ) — многочлены [например, a ₁ (t ) = 1, a ₂ (t ) = t , a ₃ (t ) = t² ,... и т.д.]; если t ₂ — t ₁ = t ₃ — t ₂ =... = t_n — t_{n -1} , a наблюдения равноточные, то для вычисления оценок X_j можно воспользоваться таблицами ортогональных многочленов, имеющимися во многих руководствах по современной вычислительной математике. Другой важный для приложения случай — так называемая гармоническая интерполяция, когда в качестве a_j (t ) выбирают тригонометрические функции [например, a_j (t ) = cos (j - 1) t , j = 1, 2,..., m ].

  Пример. Для оценки точности одного из методов химического анализа этим методом определялась концентрация CaO в десяти эталонных пробах заранее известного состава. Результаты равноточных наблюдений указаны в таблице (i — номер эксперимента, t_i — истинная концентрация CaO, T_i — концентрация CaO. определённая в результате химического анализа, Y_i = T_i - t_i — ошибка химического анализа):

Если результаты химического анализа не имеют систематических ошибок, то E y_i = 0. Если же такие ошибки имеются, то в первом приближении их можно представить в виде: E y_i = a + bt_i (a называется постоянной ошибкой, а bt_i — методической ошибкой) или, что то же самое,

где

  Для отыскания оценок a и b достаточно оценить коэффициенты

Условные уравнения в данном случае имеют вид:

поэтому a_i1 = 1, a_i2 = t_i - t (согласно предположению о равноточности наблюдений, все p_i = 1). Так как

то система нормальных уравнений записывается особенно просто:

[a₁ a₁ ] X₁ = [Ya₁ ]; [a₂ a₂ ] X₂ = [Ya₂ ],

где

  Дисперсии компонент решения этой системы суть

где k — неизвестная дисперсия на единицу веса (в данном случае k — дисперсия любой из величин Y _i ). Так как в этом примере компоненты решения принимают значения X ₁ = -0,35 и X ₂ = -0,00524, то

  D x₁ » s₁ ² = 0,00427,

  D x₂ » s₂ ² = 0,0000272,

  s₁ = 0,065, s₂ = 0,00522.

  Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению, то отношения |X_j – x_j l/s_j (j = 1, 2) распределены по закону Стьюдента. В частности, если результаты наблюдений лишены систематических ошибок, то x ₁ = x ₂ = 0 и, значит, закону Стьюдента должны подчиняться отношения |X ₁ |/s ₁ и |X ₂ |/s ₂ . С помощью таблиц распределения Стьюдента с n – m = 8 степенями свободы можно убедиться, что если действительно x ₁ = x ₂ = 0, то с вероятностью 0,999 каждое из этих отношений не должно превосходить 5,04 и с вероятностью 0,95 не должно превосходить 2,31. В данном случае |X ₁ |/s ₁ = 5,38 > 5,04, поэтому гипотезу отсутствия систематических ошибок целесообразно отвергнуть; в то же время следует признать, что гипотеза об отсутствии методической ошибки (x₂ = 0) не противоречит результатам наблюдений, так как |X ₂ |/s ₂ = 1,004 < 2,31. Т. о., можно заключить, что для определения t по результату наблюдения Т целесообразно пользоваться приближённой формулой t = Т + 0,35.

  Во многих практически важных случаях (и в частности, при оценке сложных нелинейных связей) количество неизвестных параметров бывает весьма большим и поэтому реализация Н. к. м. оказывается эффективной лишь при использовании современной вычислительной техники.