где sh, ch — гиперболические синус и косинус (см. Гиперболические функции
), a, b, c —
стороны треугольника, a, b, g — противолежащие им углы, R —
постоянная, определяемая выбором масштаба; для прямоугольного треугольника (с гипотенузой с и прямым углом g) имеет место, например, равенство:
При некотором согласовании линейного масштаба и единицы измерения площадей постоянная R
в формулах (1), (3), (4) будет одинаковой. Число R
называется радиусом кривизны плоскости (или пространства) Лобачевского. Число R
при данном масштабе выражает определённый отрезок в плоскости (пространстве) Лобачевского, который также называют радиусом кривизны. Если масштаб меняется, то меняется число R,
но радиус кривизны, как отрезок, остаётся неизменным. Если радиус кривизны принять за масштабный отрезок, то R
= 1. В геометрии Римана существуют сходные равенства:
(для произвольного треугольника) и
(для прямоугольного) при аналогичном значении символов. Число R
называют радиусом кривизны плоскости (или пространства) Римана. Как видно из формул (4) и (6), в каждой из Н. г. гипотенуза прямоугольного треугольника определяется его углами; более того, в Н. г. стороны любого треугольника определяются его углами, т. е. не существует подобных треугольников, кроме равных. В евклидовой геометрии нет формул, аналогичных формулам (4) и (6), и нет никаких др. формул, выражающих линейные величины через угловые. При замене R
на Ri
формулы (1), (3), (4) превращаются в формулы (2), (5), (6); вообще, при замене R
на Ri
все метрические формулы геометрии Лобачевского (сохраняющие при этой замене геометрический смысл) переходят в соответствующие формулы геометрии Римана. При R
® ¥ и те и другие дают в пределе формулы евклидовой геометрии (либо теряют смысл). Стремление к бесконечности величины R
означает, что масштабный отрезок является бесконечно малым по сравнению с радиусом кривизны (как с отрезком). То обстоятельство, что при этом формулы Н. г. переходят в пределе в формулы евклидовой геометрии, означает, что для малых (по сравнению с радиусом кривизны) неевклидовых фигур соотношения между их элементами мало отличны от евклидовых. Н. г. в плане дифференциальной геометрии. В каждой из Н. г. дифференциальные свойства плоскости аналогичны дифференциальным свойствам поверхностей евклидова пространства (см. Дифференциальная геометрия
);
в неевклидовой плоскости могут быть введены внутренние координаты u, v,
так что дифференциал ds
дуги кривой, соответствующий дифференциалам du, dv
координат, определяется равенством: ds2
= Edu2
+ 2Fdudv
+ Gdv2
(7) Пусть, в частности, в качестве координаты u
произвольной точки М
берётся длина перпендикуляра, опущенного из М
на фиксированную прямую, а в качестве координаты v —
расстояние от фиксированной точки О
этой прямой до основания указанного перпендикуляра; величины u, v
следует брать со знаком, подобно обычным декартовым координатам. Тогда формула (7) для плоскости Лобачевского будет иметь вид:
а для плоскости Римана
R —
та же постоянная, которая входит в формулы предыдущего раздела (радиус кривизны). Правые части (8) и (9) суть метрические формы поверхностей евклидова пространства, имеющих соответственно постоянную отрицательную кривизну К
=
— 1/R
2
(как, например, псевдосфера) и постоянную положительную кривизну К
=
1/R2
(как, например, сфера). Поэтому внутренняя геометрия достаточно малой части плоскости Лобачевского совпадает с внутренней геометрией на соответствующей части поверхности постоянной отрицательной кривизны. Аналогично, внутренняя геометрия достаточно малых частей плоскости Римана реализуется на поверхностях постоянной положительной кривизны (поверхностей, которые реализуют геометрию всей плоскости Лобачевского, в евклидовом пространстве нет). При замене R
на Ri
метрическая форма (8) переходит в метрическую форму (9). Так как метрическая форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, то при такой замене и другие метрические соотношения геометрии Лобачевского переходят в метрические соотношения геометрии Римана (что уже было отмечено выше). При R
= ¥ каждое из равенств (8) и (9) даёт ds2
= du2
+ dv2
,
т. е. метрическую форму евклидовой плоскости.
Трёхмерные неевклидовы пространства по своим дифференциальным свойствам относятся к числу римановых пространств в широком смысле (см. Риманово пространство
) и выделяются среди них прежде всего тем, что имеют постоянную риманову кривизну (см. Риманова геометрия
).
Как в двумерном, так и в трёхмерном случае постоянство кривизны обеспечивает однородность пространства, т. е. возможность движения фигур в нём, причём с той же степенью свободы, как (соответственно) на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве. Пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, равную — 1/R2
,
пространство Римана — положительную кривизну, равную 1/R
2
(R —
радиус кривизны). Евклидово пространство занимает промежуточное положение и является пространством нулевой кривизны.