Большая Советская Энциклопедия (ОБ)

Обобщённые импульсы

Обобщённые и'мпульсы, физические величины p_i, определяемые формулами: p_i =  или p_i = , где Т — кинетическая энергия, a L — Лагранжа функция данной механической системы, зависящие от обобщённых координат q_i, обобщённых скоростей , и времени t. Размерность О. и. зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность q_i — длина, то p_i имеет размерность обычного импульса, т. е. произведения массы на скорость; если же координатой q_i является угол (величина безразмерная), то p_i имеет размерность момента количества движения и т.д.

Обобщённые координаты

Обобщённые координа'ты, независимые между собой параметры q_i (r = 1, 2,..., s) любой размерности, число которых равно числу s степеней свободы механич. системы и которые однозначно определяют положение системы. Закон движения системы в О. к. даётся s уравнениями вида q_i = q_i (t), где t — время. О. к. пользуются при решении многих задач, особенно когда система подчинена связям, налагающим ограничения на её движение. При этом значительно уменьшается число уравнений, описывающих движение системы, по сравнению, например, с уравнениями в декартовых координатах (см. Лагранжа уравнения в механике). В системах с бесконечно большим числом степеней свободы (сплошные среды, физические поля) О. к. являются особые функции пространственных координат и времени, называются потенциалами, волновыми функциями и т.п.

Обобщённые силы

Обобщённые си'лы, величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механической системы её положение определяется обобщёнными координатами. Число О. с. равно числу s степеней свободы системы; при этом каждой обобщённой координате q_i соответствует своя О. с. Q_i. Значение О. с. Q_i, соответствующей координате q_i, можно найти, вычислив элементарную работу dA₁ всех сил на возможном перемещении системы, при котором изменяется только координата q_i, получая приращение dq₁. Тогда dA₁ = Q₁dq₁, т.е. коэффициент при dq_i в выражении dA₁ и будет О. с. Q₁. Аналогично вычисляются Q₂, Q₃,..., Q_s. Например, если для лебёдки (рис.) вместе с поднимаемым ею на тросе грузом весом Р (система с одной степенью свободы) принять за обобщённую координату q_i угол j поворота вала лебёдки и если к валу приложены вращающий момент М_вр и момент сил трения М_тр, то в данном случае dA₁ = (М_вр—М_тр—Pr)dj, где r — радиус вала (весом троса пренебрегаем). Следовательно, для этой системы О. с., соответствующей координате j, будет Q₁ =М_вр—М_тр—Pr.

  Размерность О. с. зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность q_i — длина, то Q_i имеет размерность обычной силы; если q_i — угол, то Q_i имеет размерность момента силы и т.д. При изучении движения механической системы О. с. входят вместо обычных сил в Лагранжа уравнениямеханики, а при равновесии все О. с. равны нулю. Например, для рассмотренной выше лебёдки при равномерном подъёме груза должно быть Q_i = 0, т. е. М_вр = М_тр + Pr.

  С. М. Тарг.

Рис. к ст. Обобщённые силы.

Обобщённые функции

Обобщённые фу'нкции, математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие О. ф., с одной стороны, даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки (пространственная), плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т.д. С другой стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физич. величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Таким образом, О. ф. служат удобным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Поэтому в иностранной литературе О. ф. называют распределениями.

  О. ф. были введены впервые в конце 20-х гг. 20 в. П. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие дельта-функции и её производных. Основы математической теории О. ф. были заложены С. Л. Соболевым в 1936 при решении Коши задачи для гиперболич. уравнений, а в послевоенные годы французский математик Л. Шварц дал систематическое изложение теории О. ф. В дальнейшем теорию О. ф. интенсивно развивали многие математики, главным образом в связи с потребностями математической физики. Теория О. ф. имеет многочисленные применения и всё шире входит в обиход физика, математика и инженера.