Большая Советская Энциклопедия (ОБ)

  Формально О. ф. определяются как линейные непрерывные функционалы над тем или иным линейным пространствомосновных функций j(x). Основным пространством функций является, например, совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций, снабженная надлежащей сходимостью (или, точнее, топологией). При этом обычные локально суммируемые функции f (x) отождествляются с функционалами (регулярными О. ф.) вида

(f, j) = òf (x)j(x) dx.     (1)

  Произвольная О. ф. f определяется как функционал f’, задаваемый равенством

(f¢, j) = ‑ (f, j¢).     (2)

  При таком соглашении каждая О. ф. бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле). Равенство (2) в силу (1) есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для дифференцируемых в обычном смысле функций f (x), так что в этом случае оба понятия производной совпадают.

  Сходимость на (линейном) множестве О. ф. вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования О. ф. непрерывна, а сходящаяся последовательность О. ф. допускает почленное дифференцирование бесконечное число раз.

  Вводятся и другие операции над О. ф., например свёртка функций, Фурье преобразование, Лапласа преобразование. Теория этих операций приобретает наиболее простую и законченную форму в рамках понятия О. ф., расширяющих возможности классического математического анализа. Поэтому использование О. ф. существенно расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.

Примеры. 1) d-функция Дирака:

(d, j) = j(0),

  описывает плотность массы (заряда) 1, сосредоточенной в точке х = 0, единичный импульс.

2) q (x) — функция Хевисайда: q(x) = 0, х £ 0, q(x) = 1, x > 0, q' = d;

  производная от неё равна единичному импульсу.

  3) —d' — плотность диполя момента 1 в точке х = 0, ориентированного вдоль оси х.

  4) md_s — плотность простого слоя на поверхности S с поверхностной плотностью m:

5)  — плотность двойного слоя на поверхности S с поверхностной плотностью момента n диполей, ориентированных вдоль направления нормали n:

.

  6) Свёртка

  — ньютонов потенциал с плотностью f, где f — любая О. ф. [например, из 1), 3), 4) и 5)].

  7) Общее решение уравнения колебаний струны

  задаётся формулой

u (х, t) = f (x + at) + g (x - at),

  где f и g — любые О. ф.

  Лит.: Дирак П. А. М., Основы квантовой механики, пер. с англ., М.—Л., 1932; Soboleff S., Méthode nouvelle á resoudre le probléme de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales, «Математический сборник», 1936, т. 1 (43), № 1 (резюме на рус. яз.); Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1—2, P., 1950—51; Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщённые функции и действия над ними, 2 изд., М., 1959; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971.

  В. С. Владимиров.

Обобществление средств производства