Большая Советская Энциклопедия (ОП)

Определённый интегра'л , одно из основных понятий математического анализа, к которому приводится решение ряда задач геометрии, механики, физики. О. и. является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм), соответствующих функции f (x ) и отрезку [ а , b ]; обозначается . Геометрически О. и. выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной отрезком [ а , b ] оси Ох , графиком функции f (x ) и ординатами точек графика, имеющих абсциссы а и b . Точное определение и обобщение О. и. см. в статьях Интеграл ,Интегральное исчисление .

Определитель

Определи'тель , детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица порядка n , т. е. квадратная таблица, составленная из п ² элементов (чисел, функций и т. п.):

 (1)

  (каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) называется многочлен, каждый член которого является произведением n элементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида

å ± a _{1 a} a _{2 b} ...a_{n g} . (2)

  В этой формуле a, b, ..., g есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., n . Перед членом берётся знак +, если перестановка a, b, ..., g чётная, и знак – , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной – в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 – нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам a, b, ..., g чисел 1, 2, ..., n . Число различных перестановок n символов равно n ! = 1·2·3·...·n ; поэтому О. содержит n ! членов, из которых ¹ /₂ n ! берётся со знаком + и ¹ /₂ n ! со знаком –. Число n называется порядком О.

  О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:

 (3)

(или, сокращённо, в виде |a_ik |). Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:

= a₁₁a₂₂ – a ₁₂ a ₂₁ ,

   = a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ + a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ + a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ – a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂ – a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ – a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁ .

О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование:  равен площади параллелограмма, построенного на векторах a ₁ = (x ₁ , y ₁ ) и a ₂ = (х ₂ .у ₂ ), а  равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах a ₁ = (x ₁ , y ₁ , z ₁ ), a ₂ = (x ₂ , у ₂ , z₂ ) и а ₃ = (х ₃ , y ₃ , z ₃ ) (системы координат предполагаются прямоугольными).

  Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени (линейные уравнения ). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде:

 (4)

  Эта система имеет одно определённое решение, если О. |a_ik |, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю; тогда неизвестное x_m (m = 1, 2, ..., n ) равно дроби, у которой в знаменателе стоит О.|a_ik |, а в числителе — О., получаемый из |a_ik | заменой элементов m -го столбца (т. е. коэффициентов при х_т ) числами b ₁ , b ₂ , ..., b_n . Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными

решение даётся формулами

;     .

  Если b ₁ = b ₂ = ..., = b_n = 0, то систему (4) называется однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет отличные от нуля решения, только если |a_ik | = 0. Связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитической геометрии. Многие формулы аналитической геометрии удобно записывать при помощи О.; например, уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами (x ₁ , y ₁ , z ₁ ), (x ₂ , y ₂ , z₂ ), (х ₃ , y ₃ , z ₃ ), может быть записано в виде:

 = 0.

  О. обладают рядом важных свойств, которые, в частности, облегчают их вычисление. Простейшие из этих свойств следующие:

  1) O. не изменяется, если в нём строки и столбцы поменять местами:

 = ;

  2) О. меняет знак, если в нём поменять местами две строки (или два столбца); так, например:

 = –;

  3) О. равен нулю, если в нём элементы двух строк (или двух столбцов) соответственно пропорциональны; так, например:

= 0;

  4) общий множитель всех элементов строки (или столбца) О. можно вынести за знак О.; так, например:

 = k ;

  5) если каждый элемент какого-нибудь столбца (строки) О. есть сумма двух слагаемых, то О. равен сумме двух О., причём в одном из них соответствующий столбец (строка) состоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых, остальные же столбцы (строки) — те же, что и в данном О.; так, например:

 =  + ;

  6) О. не изменяется, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель; так, например:

  = ;

  7) О. может быть разложен по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. Разложение О. (3) по элементам i -й строки имеет следующий вид: