Большая Советская Энциклопедия (ПР)

  Лит.: Уолш Д.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М,, 1961; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, М., 1968; Смирнов В. И.. Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М. — Л., 1964; Мергелян С. Н., Приближения функций комплексного переменного. в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теория приближений функций комплексного переменного, в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. 1, К,, 1970, с. 112—78.

  А. А. Гончар.

Приближённое интегрирование

Приближённое интегри'рование определённых интегралов, раздел вычислительной математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых интегралов .

  Пусть y = f (x ) — непрерывная функция на отрезке [a, b ] и интеграл

  Если для функции f (x ) известны значения первообразной F (x ) при x = а и х = b, то по формуле Ньютона — Лейбница

I (f ) = F (b ) - F (a )

  В противном случае приходится искать др. пути вычисления l . Одним из путей является построение квадратурных формул, приближённо выражающих значение I  в виде линейной функции некоторого числа значений функции f (x ) и её производных. Квадратурной формулой, содержащей только значения функции f (x ), называют выражение вида

S_n = A_k f (x_k ),

в котором точки x_k , k = 1, 2,..., n, x_k Î [a, b ], называют узлами, а коэффициенты A_k — весами.

  Для каждой непрерывной функции f (x ) значение I  может быть вычислено с помощью сумм S_n с любой точностью. Выбор квадратурной формулы определяется классом W, к которому относят конкретную функцию f (x ), способом задания функции и имеющимися вычислительными средствами. Погрешностью квадратурной формулы называется разность

R_n = I  - S_n .

  Квадратурная формула содержит 2n + 1 не зависящих от функции f (x ) параметров: n, x_k , A_k (k = 1, 2,..., n ), которые выбирают так, чтобы при f Î W погрешность её была допустимо малой. Точность квадратурной формулы для f Î W характеризует величина rn (W) — точная верхняя грань ½Rn ½ на множестве W:

.

  Пусть

  Квадратурная формула, для которой W_n (W) = r_n (W), называется оптимальной на классе П. Веса и узлы в оптимальной квадратурной формуле могут быть произвольными или подчинёнными определённым связям.

  Различают два класса квадратурных формул: элементарные и составные. Разработано несколько методов построения элементарных квадратурных формул. Пусть w_q (x ), q = 0, 1,..., — полная система функций в классе W, и любая f (x ) Î Q достаточно хорошо приближается линейными комбинациями первых функций w_q (x ). Пусть l (w_q ), q = 0, 1, 2,..., можно вычислить точно. Для каждого n параметры квадратурной формулы можно определить из требования, чтобы

I (w_q ) = S_n (w_q ), q = 0, 1,..., m,

для возможно большего значения m. В методе Ньютона — Котеса в квадратурной формуле выбираются узлы x_k , а определению подлежат веса A_k . В методе Чебышева на веса A_k заранее накладываются некоторые связи [например, A_k = (b - а )/n ], а определению подлежат узлы x_k . В методе Гаусса определяются и веса A_k и узлы x_k . В методе Маркова j узлов (j < n ) считают заранее известными, а определяют веса и оставшиеся узлы. Точность полученных такими методами квадратурных формул существенно повышается при удачном выборе функций w_q (x ).

  Формулы Ньютона — Котеса строятся на основе системы функций w_q = x^q , q = 0, 1,...; узлы x_k разбивают отрезок интегрирования на равные части. Примерами таких формул являются прямоугольников формула , трапеций формула и Симпсона формула .

  Поскольку заменой переменной интегрирование по [а, b ] сводится к интегрированию по отрезку [-1, 1], то для определения весов и узлов элементарных формул на [а, b ] достаточно знать их для отрезка [-1, 1]. В случае составных формул исходный интеграл представляется в виде:

и для вычисления интегралов по отрезкам [a_i , a_i+1 ] применяются элементарные квадратурные формулы.

  В формулах Гаусса m = 2n — 1, а при а = — 1, b = 1 узлы x_k являются корнями Лежандра многочлена P_n (x ) степени n, а

A_k = 2(1 - x² _k )^-1 (P’_n (x_k ))^-2

  Квадратурная формула Чебышева существует при A_k = l/n, l = b - а и x_k Î [a, b ] лишь для n = 1,..., 7, 9; в ней m = n - 1. Применение равных весов минимизирует вероятностную ошибку, если значения f (x ) содержат независимые случайные ошибки с одинаковой дисперсией.

  При вычислении интегралов от функций с периодом l наиболее употребительны квадратурные формулы типа Гаусса:

.

  Существуют квадратурные формулы для вычисления интегралов вида

где р (х ) — фиксированная, т. н. весовая функция. Её подбирают так, чтобы для всех f Î W функции f (x ) хорошо приближалась линейными комбинациями функций w_q (x ).