Большая Советская Энциклопедия (ПР)

  К числу основных постулатов П. п. т. относятся Госсена законы . Процесс установления цены на рынке наиболее подробно описывается в работах представителей австрийской школы (Менгера, Ф. Визера , Бём-Баверка). На основе взаимоотношений т. н. рыночных пар (продавец — покупатель) пока на рынке оценки полезности товара со стороны продавца ниже, чем оценки покупателя, обмен идёт беспрепятственно. Это способствует вовлечению в обмен продавцов с более высокой оценкой полезности товара и покупателей с более низкой оценкой. Процесс обмена продолжается до тех пор, пока не встречается т. н. предельная пара, чьи субъективные оценки полезности, выраженные в деньгах, совпадают. Субъективная оценка полезности товара этой последней пары продавец — покупатель и есть та предельная полезность, которая определяет рыночную цену товара. Это — цена равновесия, определяющая в дальнейшем течение всех сделок на рынке. Апологетическая сущность П. п. т. состоит в том, что она выводит проблему измерения и соизмерения цен из области общественно-производственных отношений в область субъективно-психологических оценок. Непротиворечивость П. п. т. оказывается мнимой, поскольку оценки полезности носят конкретно-исторический характер и зависят от сложившейся в тот или иной период структуры цен. Т. о. возникает порочный логический круг: цены — полезности — цены. Полезность и предельная полезность есть не что иное, как свойства потребительной стоимости (см. Товар ). Между тем потребительные стоимости невозможно соизмерить непосредственно. Соизмерению они подвергаются в той мере, в какой они являются носителями стоимости, т. е. определённого количества абстрактного труда, выраженного в единицах общественно необходимого рабочего времени. В марксистской литературе даётся также критика модификаций

  П. п. т. (метода кривых безразличия, теории выявленных предпочтений).

  Лит.: Hilferding R., Böhm-Bawerks Marx-Kritik, «Marx — Studien», Bd 1, W., 1904; Блюмин И. Г., Критика буржуазной политической экономии, т. 1, М., 1962; Козлова К., Энтов Р., Теории цены, М., 1972.

  Ю. Б. Кочеврин.

Предельной производительности теория

Преде'льной производи'тельности тео'рия , см. в ст. Производительности теории .

Предельные теоремы

Преде'льные теоре'мы теории вероятностей, общее название ряда теорем вероятностей теории , указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Исторически первые П. т. — теорема Бернулли (1713) и теорема Лапласа (1812) — относятся к распределению отклонений частоты появления некоторого события Е при n независимых испытаниях от его вероятности р (0 < р < 1). Частотой называется отношение m/n, где m — число наступлений события Е при n испытаниях (точные формулировки см. в ст. Бернулли теорема и Лапласа теорема ). С. Пуассон (1837) распространил эти теоремы на случай, когда вероятность p_k наступления Е в k- м испытании может зависеть от k, описав предельное поведение при n ® ¥ распределения отклонений частоты m/n от среднего арифметического  вероятностей p_k (1 £ k £ n ):

(см. Больших чисел закон ). Если обозначить через X_k случайную величину, принимающую значение, равное единице при появлении события Е в k- м испытании, и значение, равное нулю при его непоявлении, то m можно представить в виде суммы

m = X₁ + X₂ +... + X_n ,

что позволяет рассматривать перечисленные теоремы как частные случаи общих П. т., относящихся к суммам независимых случайных величин (закона больших чисел и центральной предельной теоремы).

  Закон больших чисел . Пусть

X₁ ,  X₂ ,..., X_n ,...      (*)

— какая-либо последовательность независимых случайных величин, s_n — сумма первых n из них

s_n = X₁ + X₂ +... + X_n ,

A_n и B² _n — соответственно математическое ожидание

A_n = Е s_n = Е X₁ + E X₂ +... + E X_n ,

и дисперсия

B² _n = D s_n -= D X₁ +D X₂ +... + D X_n ,

суммы s_n . Говорят, что последовательность (*) подчиняется закону больших чисел, если при любом e > 0 вероятность неравенства

стремится к нулю при n ® ¥.

  Широкие условия приложимости закона больших чисел найдены впервые П. Л. Чебышевым (в 1867) (см. Больших чисел закон ). Эти условия затем были обобщены А. А. Марковым (старшим). Вопрос о необходимых и достаточных условиях приложимости закона больших чисел был окончательно решен А. Н. Колмогоровым (1928). В случае, когда величины X_n имеют одну и ту же функцию распределения, эти условия, как показал А. Я. Хинчин (1929), сводятся к одному: величины X_n  должны иметь конечные математические ожидания.

  Центральная предельная теорема . Говорят, что к последовательности (*) применима центральная предельная теорема, если при любых z₁ и z₂ вероятность неравенства