Большая Советская Энциклопедия (СИ)

Симметри'ческая ма'трица, квадратная матрица S = lls_ikll, в которой любые два элемента, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны между собой: s_ik = s_ki (i, k = 1,2,..., n). С. м. часто рассматривается как матрица коэффициентов некоторой квадратичной формы; между теорией С. м. и теорией квадратичных форм существует тесная связь.

  Спектральные свойства С. м. с действительными элементами: 1) все корни l₁, l₂,..., l_n характеристического уравнения С. м. действительны; 2) этим корням соответствуют n попарно ортогональных собственных векторов С. м. (n — порядок С. м.). С. м. с действительными элементами всегда представима в виде: S'= ODO^-1

  где О ортогональная матрица, а

  .

Симметрические функции

Симметри'ческие фу'нкции, функции нескольких переменных, не изменяющиеся при любых перестановках переменных, например  или . Особое значение в алгебре имеют симметрические многочлены (с. м.) и среди них — элементарные симметрические многочлены (э. с. м.) — функции

  , , , …, ,

  где суммы распространены на комбинации неравных между собой чисел k, l,...; они имеют первую степень относительно каждого из переменных. Согласно формулам Виета, x₁, x₂,..., x_n являются корнями уравнения:

  xⁿ - f₁x^n-1 + f₂x^n-2 - ··· + (- 1) ⁿf_n = 0.

Согласно основной теореме теории С. ф., любой с. м. представляется как многочлен от э. с. м., и притом только единственным образом: F (x₁, x₂.,..., x_n) = G (f₁, f₂,..., f_n); если все коэффициенты в F целые, то и коэффициенты в G целые. Иными словами, всякий с. м. от корней уравнения выражается целым рациональным образом через его коэффициенты; например,

  .

  Другим важным классом С. ф. являются степенные суммы

  .

  Они связаны с э. с. м. формулами Ньютона

  s_i - f₁s_l-1 + f₂s_l-2 + ··· + (— 1) ^lf_l = 0, ,

  и

  s_n+l - f₁s_n+l-1 + ··· +(-1) ⁿ f_ns_l = 0,

  ,

  позволяющими последовательно выражать f_k через s_rn и обратно.

  Функция называется кососимметрической, или знакопеременной, если она не изменяется при чётных перестановках x₁, x₂,..., x_n и меняет знак при нечётных перестановках. Такие функции рационально выражаются через f₁, f₂,..., f_n и разностное произведение (см. Дискриминант) D = П_к<1 (x_k — x_l), квадрат которого является С. ф. и потому рационально выражается через f₁, f₂,..., f_n.

  Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.

Симметричность

Симметри'чность в математике и логике, свойство бинарных (двуместных, двучленных) отношений, выражающее независимость выполнимости данного отношения для какой-либо пары объектов от порядка, в котором эти объекты входят в пару: отношение R называется симметричным, если для любых объектов x и y из области определения xRy влечёт yRx. Примерами симметричных отношений служат отношения типа равенства (тождества, эквивалентности, подобия), их «ослабленные формы» — отношения толерантности (сходства, соседства и т. п.), а также (как следует из данного выше определения) обратные к ним отношения неравенства и др. Отношение R называется антисимметричным, если из xRy при х (у следует ù yRx (отрицание yRx), т. е. если из xRy и yRx непременно следует х = у, таковы, например, отношения порядка (по величине или какому-либо другому упорядочивающему критерию) между числами или другими объектами, отношение включения между множествами и т. п. В применении к логическим и логико-математическим операциям свойство С. называется коммутативностью (перестановочностью); например, результаты сложения и умножения чисел, объединения и пересечения множеств, дизъюнкция и конъюнкция высказываний (см. Алгебра логики) не зависят от порядка слагаемых, сомножителей и т. д. Понятия С. и коммутативности естественно обобщаются на случай произвольного числа объектов.

Симметрия (в биологии)

Симметри'я в биологии (биосимметрия). На явление С. в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы (5 в. до н. э.) в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 в. появились единичные работы, посвященные С. растений (французские учёные О. П. Декандоль, О. Браво), животных (немецкий — Э. Геккель), биогенных молекул (французские — А. Вешан, Л. Пастер и др.). В 20 в. биообъекты изучали с позиций общей теории С. (советские учёные Ю. В. Вульф, В. Н. Беклемишев, Б. К. Вайнштейн, голландский физикохимик Ф. М. Егер, английский кристаллографы во главе с Дж. Берналом) и учения о правизне и левизне (советские учёные В. И. Вернадский, В. В. Алпатов, Г. Ф. Гаузе и др.; немецкий учёный В. Людвиг). Эти работы привели к выделению в 1961 особого направления в учении о С. — биосимметрики.