Большая Советская Энциклопедия (ТЕ)

  Для описания многих физических и геометрических фактов обычно вводится та или иная система координат, что позволяет описывать различные объекты при помощи одного или нескольких чисел, а соотношения между объектами — равенствами, связывающими эти числа или системы чисел. Некоторые из величин, называемые скалярными (масса, температура и т. д.), описываются одним числом, причём значение этих величин не изменяется при переходе от одной системы координат к другой (мы рассматриваем здесь физические явления с точки зрения классической физики). Другие величины — векторные (сила, скорость и т. д.), описываются тремя числами (компонентами вектора), причём при переходе от одной системы координат к другой компоненты вектора преобразуются по определённому закону. Наряду со скалярными и векторными величинами встречаются во многих вопросах физики и геометрии величины более сложного строения. Эти величины, называемые тензорными, описываются в каждой системе координат несколькими числами (компонентами тензора), причём закон преобразования этих чисел при переходе от одной системы координат к другой более сложен, чем для векторов (точные определения будут даны ниже). При введении координатной системы, помимо чисел, описывающих сам объект или физическое явление, появляются числа, описывающие его связь с выбранной системой координат. Рассмотрим, например, совокупность чисел J_ij (i, j = 1, 2, 3), где J_ij   — осевой момент инерции твёрдого тела относительно оси X_i , a J_ij , (при i ¹j ) — центробежные моменты инерции, взятые с обратным знаком. При переходе от одной системы координат к другой осевой момент инерции J_ii меняется (так как меняется положение оси x_i относительно тела), а потому J_ii не может рассматриваться как физическая величина, имеющая независимый от выбора системы координат смысл. Это находит своё выражение, например, в том, что знание J_ii в одной системе координат не позволяет найти J_ii в другой системе координат. В то же время совокупность всех чисел J_ij имеет смысл, независимый от выбора координатной системы. Знание всех чисел J_ij в одной системе прямоугольных координат позволяет найти их в любой другой системе прямоугольных координат по формуле  ( и  — некоторые числа): здесь, как принято в Т. и., опущен знак суммы и считается, что если один и тот же индекс встречается дважды (один раз наверху, а другой раз внизу), то по нему производится суммирование, причём этот индекс принимает все возможные для него значения (в приведённом примере — значения 1, 2, 3). Т. и., как и векторное исчисление, является математическим аппаратом, при котором исключается влияние выбора координатной системы. Это достигается тем, что задание компонент тензора в какой-либо системе координат определяет их во всех других системах координат. В Т. и. указываются методы получения соотношений между тензорами и функций от компонент тензоров, не меняющихся при переходе от одной системы координат к другой (инвариантных соотношений и инвариантов).

  Т. о., одной из основных задач Т. и. является нахождение аналитических формулировок законов механики, геометрии, физики, не зависящих от выбора координатной системы.

  1. Тензоры в прямоугольных координатах. Величины, которые в каждой системе прямоугольных координат задаются в 3-мерном пространстве 3^k числами   (i_r = 1, 2, 3) и при замене системы координат (x₁ , x₂ , x₃ ) системой (x’₁ , x’₂ , x’₃ ) заменяются числами  по формулам:

  , (1)

где , называются тензорными величинами, а определяющие их системы чисел — тензорами в прямоугольных координатах (иногда тензорами называют также и сами тензорные величины). Число k называется валентностью (рангом) тензора, числа — его компонентам и (координатами). Аналогичным образом определяются тензоры в пространстве любого числа измерений.

  Примеры тензоров: если координаты вектора а обозначить a_i (i = 1, 2, 3), то числа а , образуют тензор первой валентности. Любым двум векторам а = {a_i } и b ={b_i } соответствует тензор с компонентами p_ij = a_i . b_j . Этот тензор называется диадой. Если a (x₁ , x₂ , x₃ ) — некоторое векторное поле , то каждой точке этого поля соответствует тензор с компонентами . Он называется производной вектора а = {ai} по вектору r {x₁ , x₂ , хз } (обозначается также через ). Упомянутая выше совокупность чисел J_ij образует тензор второй валентности (тензор инерции).

  2. Тензоры второй валентности. В приложениях Т. и. к механике, кроме тензоров первой валентности (векторов), чаще всего встречаются тензоры второй валентности.