Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)

  В соответствии со сказанным, в пределах системы всех однородных В. (то есть в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объёмов) устанавливается отношение неравенства: две В. а и b одного и того же рода или совпадают (а = b ), или первая меньше второй (а < b ), или вторая меньше первой (b < a ). Общеизвестно также в случае длин, площадей, объёмов и то, каким образом устанавливается для каждого рода В. смысл операции сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных В. отношение а < b и операция а + b = с обладают следующими свойствами:

  1) каковы бы ни были а и b, имеет место одно и только одно из трёх соотношений: или а = b, или а < b, или b <a.

  2) если а <b и b <c, то а <с (транзитивность отношений «меньше», «больше»);

  3) для любых двух В. а и b существует однозначно определённая В. с = а +b,

  4) а + b = b + а (коммутативность сложения);

  5) а + (b + с) = (а + b ) + с (ассоциативность сложения);

  6) а +b > а (монотонность сложения);

  7) если а > b, то существует одна и только одна В. с, для которой b + с = а (возможность вычитания);

  8) каковы бы ни были В. а и натуральное число n, существует такая В. b, что nb = a (возможность деления);

  9) каковы бы ни были В. а и b, существует такое натуральное число n, что а < nb. Это свойство называется аксиомой Евдокса, или аксиомой Архимеда. На нём вместе с более элементарными свойствами 1—8 основана теория измерения В., развитая древнегреческими математиками.

  Если взять какую-либо длину l за единичную, то система s' всех длин, находящихся в рациональном отношении к l , удовлетворяет требованиям 1—9. Существование несоизмеримых (см. Соизмеримые и несоизмеримые величины ) отрезков (открытие которых приписывается Пифагору, 6 в. до н. э.) показывает, что система s' ещё не охватывает системы s всех вообще длин.

  Чтобы получить вполне законченную теорию В., к требованиям 1—9 надо присоединить ещё ту или иную дополнительную аксиому непрерывности, например:

  10) если последовательности величин a₁ 2 <... <...< b₂ <b₁ обладают тем свойством, что b_n — a_n < с для любой В. с при достаточно большом номере n, то существует единственная В. х, которая больше всех a_n и меньше всех b_n .

  Свойства 1—10 и определяют полностью современное понятие системы положительных скалярных В. Если в такой системе выбрать какую-либо В. l за единицу измерения, то все остальные В. системы однозначно представляются в виде а = al, где а. — положительное действительное число. Подробнее об измерении В. см. ст. Измерение .

  II. Рассмотрение направленных отрезков на прямой, скоростей, могущих иметь два противоположных направления, и т.п. В. естественно приводит к тому обобщению понятия скалярной В., которое является основным в механике и физике. Система скалярных В. в этом понимании включает в себя, кроме положительной В., нуль и отрицательную В. Выбирая в такой системе какую-либо положительную величину l за единицу измерения, выражают все остальные В. системы в виде а = al, где a — действительное число, положительное, отрицательное или равное нулю. Конечно, систему скалярных В. в этом понимании можно охарактеризовать и аксиоматически, не опираясь на понятие числа. Для этого пришлось бы несколько изменить требования 1—10, которыми выше охарактеризовано понятие положительной скалярной В.

  III. В более общем смысле слова величинами называют векторы , тензоры и др. «не скалярные величины». Такие В. можно складывать, но отношение неравенства (а < b) для них теряет смысл.

  IV. В некоторых более отвлечённых математических исследованиях играют известную роль «неархимедовы» В., которые имеют с обычными скалярными В. то общее, что для них сохраняются обычные свойства неравенств, но аксиома 9 не выполняется (для скалярных В. в смысле пункта II она сохраняется с оговоркой, что b > 0 ).

  V. Так как система действительных положительных чисел удовлетворяет перечисленным выше свойствам 1—10, а система всех действительных чисел обладает всеми свойствами скалярных В., то вполне законно сами действительные числа называть величинами. Это особенно принято при рассмотрении переменных В. Если какая-либо конкретная В., например длина l нагреваемого металлического стержня, изменяется во времени, то меняется и измеряющее её число х = l / l₀ (при постоянной единице измерения l_o ). Само это меняющееся во времени число х принято называть переменной В. и говорить, что х принимает в какие-либо последовательные моменты времени t₁ , t₂ , ...»числовые значения» X₁ , X₂ ,... В традиционной математической терминологии говорить о «переменных числах» не принято. Однако логичнее такая точка зрения: числа, как и длины, объёмы и т.п., являются частными случаями В. и, как всякие В., могут быть и переменными, и постоянными. Столь же законно и рассмотрение переменных векторов, тензоров и т.п.