Был ли Бог математиком?

И все же никто не мог предугадать, какой вот-вот грянет гром. Двадцатичетырехлетний Курт Гёдель одним ударом вбил кол в самое сердце формализма.

Курт Гёдель (рис. 53) родился 28 апреля 1906 года в моравском городе, который сейчас известен под чешским названием Брно[140]. В то время город назывался Брюнн, находился в Австро-Венгерской империи, и Гёдель рос в семье, где говорили по-немецки. Его отец Рудольф Гёдель управлял текстильной фабрикой, а мать Марианна Гёдель следила, чтобы юный Курт получил должное широкое образование – изучал математику, историю, языки и теологию. Подростком Гёдель почувствовал особый интерес к математике и философии и в восемнадцать лет поступил в Венский университет, где его внимание привлекала в основном математическая логика. Особенно его восхищали «Principia Mathematica» Рассела и Уайтхеда и программа Гильберта, поэтому темой диссертации он выбрал задачу о полноте. Целью этого исследования было, вообще говоря, определить, достаточно ли формального подхода, за который ратовал Гильберт, чтобы вывести все истинные утверждения математики. В 1930 году Гёдель получил докторскую степень, а всего через год опубликовал свои теоремы о неполноте, от которых по философскому и математическому миру прокатилось настоящее цунами[141].

На чисто математическом языке эти теоремы звучали непонятно для непосвященных и не особенно интересно.

1. Любая непротиворечивая формальная система S, в пределах которой можно вывести определенный объем элементарной арифметики, может считаться неполной по отношению к утверждениям элементарной арифметики: существуют утверждения, которые в рамках S невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

2. Для любой непротиворечивой формальной системы S, в пределах которой можно вывести определенный объем элементарной арифметики, невозможно доказать непротиворечивость S в рамках самой S.

Казалось бы, в этих словах нет ничего особенно грозного, однако их значение для программы формалистов оказалось весьма существенным.

Говоря несколько упрощенно, теоремы неполноты доказали, что формалистская программа Гильберта, в сущности, была нежизнеспособна с самого начала. Гёдель показал, что всякая формальная система, достаточно масштабная, чтобы вызывать хоть какой-то интерес к себе, по сути своей либо неполна, либо противоречива. То есть в лучшем случае всегда будут какие-то утверждения, которые эта формальная система не сможет ни доказать, ни опровергнуть. В худшем же эта система приведет к противоречиям. Поскольку для любого утверждения T всегда должно быть верно либо T, либо не-T, то, что конечная формальная система не может ни доказать, ни опровергнуть некоторые утверждения, означает, что в рамках этой системы всегда существуют истинные суждения, которые невозможно доказать. Иначе говоря, Гёдель показал, что никакая формальная система, состоящая из конечного множества аксиом и правил, по которым делаются выводы, никогда не сможет охватить всю совокупность математических истин. Остается лишь уповать на то, что общепринятые системы аксиом всего лишь неполны, но не противоречивы.

Сам Гёдель полагал, что независимое платоновское представление о математической истине все же существует. В статье, опубликованной в 1947 году, он писал следующее (Gödel 1947).

Однако у нас все же есть нечто вроде восприятия объектов теории множеств, несмотря на то, как далеки они от чувственного опыта, что и видно из того обстоятельства, что аксиомы навязывают себя нам как истину. Не вижу причин, почему мы должны доверять такого рода восприятию, то есть математической интуиции, меньше, чем чувственному восприятию.

Судьба распорядилась так, что в тот самый момент, когда формалисты уже были готовы устраивать парад победы, пришел Курт Гёдель, ревностный платоник, и испортил им все веселье, обрушив ливень на парад формалистской программы.

Знаменитый математик Джон фон Нейман (1903–1957), читавший в то время курс лекций о работах Гильберта, отменил оставшиеся лекции и посвятил освободившиеся учебные часы изложению открытий Гёделя.