Был ли Бог математиком?

В «Основаниях» Рассел и Уайтхед отстаивали ту точку зрения, что математика в целом зиждется на проработке и развитии законов логики и между ними нет четкого разграничения[129]. Однако, чтобы добиться самодостаточного описания, им нужно было каким-то образом обуздать антиномии, или парадоксы (вдобавок к парадоксу Рассела нашлись и другие). Это требовало очень хитроумных логических манипуляций. Рассел считал, что эти парадоксы возникают исключительно из-за «порочного круга», когда сущности определяют в терминах класса объектов, который сам содержит определяемую сущность. Вот как он об этом писал: «Если я говорю “Наполеон имел все качества, которые сделали его великим полководцем”, я должен определить “качества” таким образом, который не включал бы то, о чем я сейчас говорю, то есть “обладание всеми качествами великого полководца” не должно быть качеством в предположенном смысле». Чтобы избежать этого парадокса, Рассел предложил «теорию типов», в которой класс (множество) принадлежит к более высокому логическому типу, чем его члены[130]. Например, все отдельные игроки футбольной команды «Далласские ковбои» принадлежали бы к типу 0. Сама команда «Далласские ковбои», класс игроков, принадлежала бы к типу 1. Национальная футбольная лига, класс команд, была бы типа 2, а совокупность лиг, если бы таковая существовала, – типа 3 и так далее. По этой системе сама идея класса, который является членом самого себя, не ложна и не истинна, а просто бессмысленна. Поэтому парадоксы наподобие парадокса Рассела в системе Рассела и Уайтхеда не встречаются.

Нет никаких сомнений, что «Основания» – монументальное достижение в логике, однако едва ли можно считать этот труд долгожданными основами математики. Теорию типов Рассела многие считают несколько искусственным способом избавиться от проблемы парадоксов[131], причем этот способ сам по себе приводит к разным неприятным осложнениям. Например, рациональные числа, то есть простые дроби, принадлежат, как выяснилось, к более высокому типу, чем натуральные числа. Чтобы избежать некоторых таких осложнений, Рассел и Уайтхед ввели дополнительную аксиому, так называемую аксиому сводимости, которая сама по себе вызывает серьезные противоречия и недоверие.

Математики Эрнст Цермело и Абрахам Френкель предложили более изящные способы искоренить парадоксы. Они, в сущности, сумели снабдить теорию множеств самодостаточной системой аксиом и воспроизвести большинство результатов этой теории. На поверхностный взгляд сбылась мечта платоников – по крайней мере, отчасти. Если теория множеств и логика и в самом деле две стороны одной медали, значит, прочный фундамент теории множеств обеспечивает и прочный фундамент логики. А если к тому же почти вся математика выводится из логики, это придает математике своего рода объективную надежность, которую, кроме всего прочего, можно было бы привлечь для объяснения эффективности математики.

К сожалению, ликовали платоники недолго, поскольку их почти сразу же постиг тяжелый случай дежавю.

Опять неевклидов кризис?!