Был ли Бог математиком?

В целом Буль сумел математически обуздать логические связки «и», «или», «если… то» и «не», которые сейчас лежат в самой основе компьютерных операций и самых разных коммутационных схем. Поэтому многие считают его одним из «провозвестников», приблизивших эру цифровых технологий. И все же булева алгебра была новой и неслыханной, а потому несовершенной. Во-первых, у Буля получалось писать несколько нестрого и не вполне понятно, поскольку он прибегал к системе обозначений, слишком похожей на обычную алгебру. Во-вторых, Буль путал утверждения («Аристотель смертен»), предикаты («х смертен») и утверждения с квантором всеобщности («х смертен для любого х»). Наконец, впоследствии Фреге и Рассел утверждали, что алгебра коренится в логике. Поэтому можно возразить, что следует строить алгебру на логике, а не наоборот.

Однако в книге Буля содержалась одна идея, которой предстояло стать очень плодотворной. Речь идет о понимании тесной связи логики с понятием классов или множеств. Вспомним, что булева алгебра в равной степени применима к классам и к логическим утверждениям. В самом деле, когда все члены одного множества X – еще и члены другого множества Y (X — подмножество Y), это можно выразить в виде логической импликации в виде «если X, то Y». Например, то, что все кони – подмножество множества всех четвероногих животных, можно написать в виде логического утверждения «Если X – конь, то он четвероногое животное».

В дальнейшем усовершенствованием и расширением булевой алгебры логики занимались многие ученые, однако полностью исследовал подобие между логикой и множествами и вывел всю эту концепцию на принципиально новый уровень Готлоб Фреге (рис. 48).

Рис. 48

Фридрих Людвиг Готлоб Фреге родился в Германии, в городе Висмаре, где и его отец, и мать в разное время были директорами старшей школы для девочек. Он изучал математику, физику, химию и философию, сначала в Йенском университете, потом еще два года в Геттингенском университете. Получив образование, он в 1874 году начал читать в Йене лекции и на протяжении всей своей профессиональной карьеры преподавал там математику. Несмотря на солидную педагогическую нагрузку, Фреге в 1879 году сумел напечатать свою первую революционную работу по логике[125]. Небольшая книга называлась «Исчисление понятий, или Подражающий арифметике формальный язык чистого мышления» (в научном обиходе ее обычно называют «Begriffsschrift»). В ней Фреге разработал оригинальный логический язык, который затем развил в двухтомном труде «Основные законы арифметики» («Grundgesetze der Arithmetic»). Задачи, которые ставил перед собой Фреге, были, с одной стороны, очень узкими, но с другой – необычайно честолюбивыми. Первоначально он сосредоточился на арифметике и хотел показать, что даже такие знакомые понятия, как натуральные числа 1, 2, 3…, можно свести к логическим конструкциям. Таким образом, Фреге полагал, что можно доказать все истины арифметики при помощи нескольких логических аксиом. Иными словами, по Фреге даже утверждения вроде 1 + 1 = 2 – не эмпирические истины, основанные на наблюдении: они выводятся из логических аксиом. Книга «Begriffsschrift» Фреге оказала такое влияние, что современный гарвардский логик Уиллард Ван Орман Куайн (1908–2000) однажды написал: «Логика – наука очень старая, а с 1879 года еще и великая».

Стержневым понятием философии Фреге было представление о том, что истина не зависит от человеческого суждения. В «Основных законах арифметики» он пишет (Frege 1893, 1903): «Быть истинным – не то же самое, что считаться истинным в глазах одного человека или даже всех, и одно ни в коем случае не сводится к другому. Нет никакого противоречия в том, что истинно что-то, что все считают ложным. Под “законами логики” я подразумеваю не психологические законы, по которым люди считают что-то истинным, а законы истины… они [законы истины] – краевые камни, заложенные в фундамент вечности, и наше мышление может перелиться через них, но не сдвинуть их с места».