Был ли Бог математиком?

Согласно Лакоффу и Нуньесу, главный инструмент, позволяющий продвинуться дальше врожденных способностей, – это конструирование концептуальных метафор, мыслительный процесс, переводящий абстрактные понятия в более конкретные. Например, концепция арифметики коренится в одной из самых фундаментальных метафор собирания предметов. С другой стороны, относительно абстрактная булева алгебра классов метафорически связывает классы с числами. Сложный сценарий, разработанный Лакоффом и Нуньесом, предлагает интересную точку зрения на то, почему одни математические понятия людям усвоить проще других. Некоторые исследователи, например нейрофизиолог-когнитивист Розмари Варли из Шеффилдского университета, предполагают, что по крайней мере некоторые математические структуры паразитируют на языковых способностях – то есть математические понятия развиваются благодаря заимствованию ментальных инструментов, которые отвечают за создание языка (Varley et al. 2005; Klessinger et al. 2007).

Когнитивисты подвели весьма солидную базу под ассоциацию нашей математики с человеческим разумом и против платонизма. Но вот что интересно: самый сильный, по моему мнению, довод против платонизма выдвигают не нейробиологи, а сэр Майкл Атья, один из величайших математиков ХХ века. Я уже упоминал вскользь о его аргументации в главе 1, но здесь хотелось бы остановиться на ней поподробнее.

Если бы пришлось выбирать одно-единственное понятие из нашей математики, которое с наибольшей вероятностью существует независимо от человеческого разума, на чем бы вы остановились? Большинство из нас, скорее всего, пришло бы к выводу, что это должны быть натуральные числа. Что может быть естественнее, «натуральнее», чем 1, 2, 3, …? Даже немецкий математик Леопольд Кронекер (1823–1891), склонный к интуиционизму, как известно, провозгласил: «Господь сотворил натуральные числа, все остальное – дело рук человека». Поэтому, если удастся доказать, что даже натуральные числа как понятие берут начало в человеческом разуме, это будет серьезный довод в пользу парадигмы «изобретения». Вот как это формулирует Атья (Atiyah 1995): «Представим себе, что разумом наделено не человечество, а какая-нибудь огромная одинокая медуза в глубинах Тихого океана. Все ее сенсорные данные определялись бы движением, температурой и давлением. Поскольку все это – чистейший континуум, в такой обстановке не может появиться ничего дискретного, и медузе нечего было бы считать». Иначе говоря, Атья убежден, что даже такое фундаментальное понятие, как натуральные числа, и то было создано человеком посредством абстрагирования элементов физического мира (как сказали бы когнитивисты, «посредством закладывания метафор»). Иначе говоря, число 12, например, отражает абстракцию качества, общего для всего, что объединяется по дюжине, точно так же как слово «мысль» отражает самые разные процессы, происходящие у нас в мозге.

Возможно, то, что Атья привлекает для доказательства гипотетическую вселенную медузы, читателю не понравится. Возможно, читатель возразит, что Вселенная только одна, деваться из нее некуда и любое предположение следует изучать в контексте этой Вселенной. Однако это, в сущности, все равно что признать, что понятие натуральных чисел каким-то образом зависит от Вселенной человеческого опыта! Обратите внимание, что именно это и имеют в виду Лакофф и Нуньес, когда говорят, что математика «встроена».

Итак, я только что приводил доводы за то, что понятия нашей математики коренятся в человеческом разуме. Вероятно, вы спросите, почему же я раньше так настаивал, что математика по большей части открыта – именно такой точки зрения придерживаются платоники.

Изобретение и открытие

В повседневной жизни разница между открытием и изобретением иногда совершенно очевидна, а иногда несколько размыта. Никто не станет утверждать, будто Шекспир открыл Гамлета, а мадам Кюри изобрела радий. Однако же новые лекарства от некоторых болезней обычно принято называть открытиями, хотя на самом деле они зачастую появляются в результате тщательного синтеза новых химических соединений. Давайте остановимся на вполне конкретном примере из математики, который, думается мне, не только поможет прояснить, чем открытие отличается от изобретения, но и позволит взглянуть по-новому на процесс развития и прогресса математики.