Был ли Бог математиком?

В книге VI фундаментальных «Начал» Евклида мы обнаруживаем определение деления отрезка на две неравные части неким заданным способом (оно же применительно к площади приводится и раньше, в книге II). Согласно Евклиду, если отрезок АВ делится точкой С (рис. 62) таким образом, что соотношение длин сегментов (AC/CB) равно отношению длины всего отрезка к более длинному сегменту (AB/AC), говорят, что отрезок делится «в крайнем и среднем отношении». Иначе говоря, если AC/CB = AB/AC, то каждое из этих отношений называется «крайним и средним отношением». С XIX века это отношение известно широкой публике как золотое сечение[157]. В результате несложных алгебраических вычислений получается, что золотое сечение равно

Прежде всего, вы вправе поинтересоваться, почему Евклида вообще заинтересовало определение именно такого деления отрезка и зачем было давать этому соотношению особое название? Ведь разных способов поделить отрезок бесконечно много. Ответ на этот вопрос можно найти в культурно-мистическом наследии Пифагора и Платона. Вспомним, что пифагорейцы были одержимы числами. Они считали, что нечетные числа – это мужское начало и добро, а четные, соответственно, – женское начало и зло. Особое родство они ощущали с числом 5: ведь это союз 2 и 3, первого четного (женского) числа с первым нечетным (мужским). (Число 1 вообще считалось не числом, а генератором остальных чисел.) Поэтому для пифагорейцев число 5 представляло собой воплощение любви и брака, и пентаграмму – пятиконечную звезду – они сделали символом своего братства (рис. 63). И вот тут-то на сцену впервые вышло золотое сечение. Если взять правильную пентаграмму, то отношение боковой стороны любого треугольника к его основанию (a/b на рис. 63) в точности равно золотому сечению. Подобным же образом отношение любой диагонали правильного пятиугольника к его стороне (c/d на рис. 64) также равно золотому сечению. А значит, чтобы построить пятиконечную звезду или пятиугольник при помощи циркуля и линейки (именно так проделывали геометрические построения древние греки), требуется разделить отрезок в золотом сечении.

Рис. 62

Рис. 63

Рис. 64

Платон обогатил мистический смысл золотого сечения дополнительными обертонами. Древние греки полагали, что все во Вселенной состоит из четырех стихий – земли, воды, воздуха и огня. В «Тимее» Платон попытался объяснить структуру вещества на основании пяти правильных многогранников, которые впоследствии были названы в его честь платоновыми телами (рис. 65). Это выпуклые тела – тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр – единственные, у которых все грани (у каждого многогранника по отдельности) одинаковы и представляют собой правильные многоугольники, а все вершины лежат на сфере. Каждое из первых четырех тел Платон связывал с определенной стихией: земля ассоциировалась с устойчивым кубом, всепроникающий огонь – с острым тетраэдром, воздух – с октаэдром, а вода – с икосаэдром. А о додекаэдре (рис. 65, d) Платон в «Тимее» писал: «В запасе оставалось еще пятое многогранное построение, его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца» (пер. С. Аверинцева). Итак, додекаэдр отражал вселенную в целом. Обратите внимание, что додекаэдр, обладающий двенадцатью пятиугольными гранями, прямо-таки воплощает в себе золотое сечение. И его объем, и площадь поверхности можно выразить в виде простых равенств с участием золотого сечения (так же обстоят дела и с икосаэдром).

То есть исторический опыт показывает, что методом многочисленных проб и ошибок пифагорейцы и их последователи открыли способы строить определенные геометрические фигуры, которые для них воплощали важные понятия вроде любви и космоса. Тогда неудивительно, что и они, и Евклид, задокументировавший эту традицию, изобрели понятие золотого сечения, необходимого для этих построений, и дали ему название. В отличие от любого другого произвольного соотношения, число 1,618… стало предметом пристального изучения с богатой и интересной историей и даже в наши дни то и дело заявляет о себе в самых неожиданных местах. Например, спустя две тысячи лет после Евклида немецкий астроном Иоганн Кеплер открыл, что это число – чудесным образом – имеет отношение к последовательности чисел под названием числа Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… – характерна тем, что каждый ее член, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих (2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3 и так далее). А если поделить любой член последовательности на непосредственно предшествующий (например, 144 ÷ 89; 233 ÷ 144 и так далее), окажется, что отношения колеблются в окрестности золотого сечения, причем чем больше члены последовательности, тем ближе их отношения к золотому сечению. Например, при округлении до шестого знака после запятой у нас получатся следующие числа: 144 ÷ 89 = 1,617978; 233 ÷ 144 = 1,618056; 377 ÷ 233 = 1,618026 и так далее.

Рис. 65