Был ли Бог математиком?

Мир не стоит на месте. Все, что нас окружает, либо движется, либо постоянно меняется. Даже твердая Земля под ногами на самом деле вертится вокруг своей оси, вращается вокруг Солнца и – вместе с Солнцем – движется вокруг центра нашей галактики Млечный Путь. Воздух, которым мы дышим, состоит из триллионов молекул, которые движутся – хаотически, без остановки. А одновременно кругом растут растения, распадаются радиоактивные материалы, температура атмосферы растет и падает в зависимости от времени суток и времени года, а ожидаемая продолжительность жизни просто возрастает. Однако эта космическая неугомонность сама по себе не отменяет математику. Ньютон и Лейбниц разработали отрасль математики под названием математический анализ[80] именно затем, чтобы можно было строго анализировать и строить точные модели и движения, и перемен. К настоящему времени этот невероятный научный инструмент достиг такой мощности и универсальности, что его можно применять для решения самых разных задач – от движения космического челнока до распространения инфекционной болезни. Подобно тому как кино передает движение, разбивая его на последовательность неподвижных кадров, математический анализ измеряет перемены с таким маленьким шагом, что это позволяет определять количества, существующие лишь мимолетно, например мгновенную скорость, ускорение или темп изменения.

Математики так называемой эпохи Рационализма (конец XVII–XVIII вв.), следуя по стопам титанов Ньютона и Лейбница, расширили и дополнили математический анализ и разработали еще более мощную отрасль дифференциальных уравнений, которая находит еще более широкое практическое применение. Это новое орудие позволило ученым строить подробные математические теории самых разных явлений – от музыки, порожденной струнами скрипки, до передачи тепла, от движения волчка до течения жидкостей и газов. Некоторое время именно дифференциальные уравнения были излюбленным инструментом прогресса в физике.

Одними из первопроходцев в исследовании новых горизонтов, которые открывали дифференциальные уравнения, были члены знаменитой семьи Бернулли[81].

Между серединой XVII и серединой XVIII веков эта семья подарила миру целых восемь выдающихся математиков. Не меньше, чем математическими достижениями, эти одаренные личности прославились и внутрисемейными распрями (описанными в Hellman 2006). Скандалы между разными Бернулли всегда были связаны с соперничеством за первенство в математике, но при этом задачи, о которых они спорили, казалось бы, не играют в наши дни такой уж важной роли. Однако решение этих хитрых головоломок зачастую прокладывало дорогу гораздо более серьезным математическим открытиям.

В целом нет никаких сомнений, что семейство Бернулли играло важную роль в становлении математики как языка самых разнообразных физических процессов.

Примером того, как сложно было устроено мышление двух самых блистательных Бернулли – братьев Якоба (1654–1705) и Иоганна (1667–1748) – может служить следующая история. Якоб Бернулли был одним из основателей теории вероятностей, и мы еще вернемся к нему в этой главе. Однако к 1690 году Якоб с головой погрузился в изучение задачи, которую за двести лет до него сформулировал и исследовал еще величайший деятель эпохи Возрождения Леонардо да Винчи: какую форму примет гибкая, но нерастяжимая цепочка, закрепленная за концы (как на рис. 31)? Леонардо в своих записных книжках несколько раз рисовал такие цепочки. Считается, что эту задачу задавал и Декарту его друг Исаак Бекман, однако не осталось никаких свидетельств, что Декарт пытался ее решить. Впоследствии эта задача получила название «задача о цепной линии»[82]. Галилей считал, что это должна быть парабола, однако французский иезуит Игнас-Гастон Пардис (1636–1673) доказал, что это не так. Правда, сам Пардис тоже не сумел математически вывести правильную форму цепочки.

Рис. 31

Прошел всего год с тех пор, как Якоб Бернулли поставил задачу, когда его младший брат Иоганн решил ее (при помощи дифференциального уравнения). Решили ее и Лейбниц, и голландский математик и физик Христиан Гюйгенс (1629–1695), однако решение Гюйгенса было получено не очень ясным геометрическим методом. То, что Иоганн сумел решить задачу, которая поставила в тупик его брата и учителя, было для младшего Бернулли неисчерпаемым источником самодовольства – даже спустя тринадцать лет после смерти Якоба. Иоганн не мог скрыть торжества в письме, адресованном 29 сентября 1718 года французскому математику Пьеру Ремону де Монмору (1678–1719) (цит. по Truesdell 1960).