Человеческое познание его сферы и границы

3. Смутное сознание логической связи. Всякий человек, математические способности которого не являются почти сверхчеловеческими, должен был, если он изучал математику, испытывать ощущение, что он едва ли способен «видеть» определенную ступень в ходе доказательства. Процесс прослеживания доказательства облегчается, если мы его разбиваем на очень небольшие ступени, но какими бы небольшими мы их ни делали, некоторые из них могут оставаться трудными для прослеживания, если содержание рассуждения очень сложно. Ясно, что если мы сделаем ступени настолько небольшими, насколько это возможно, то каждая ступень должна стать данным, ибо иначе всякая попытка доказательства предполагала бы бесконечный регресс. Возьмем, скажем, силлогизм модуса Barbara. Я говорю: «Все люди смертны», — и вы с этим соглашаетесь. Я говорю далее: «Сократ человек», — и вы снова соглашаетесь. Тогда я говорю: «Следовательно, Сократ смертен», — и вы говорите: «Я не вижу, из чего это следует». Что я могу сделать в этом случае? Я могу сказать: «Разве вы не видите, что если f(x) всегда истинно, то f(a) истинно? И разве вы не видите, что, следовательно, если f(x) всегда имплицирует f(x), тогда f (Сократ) имплицирует y (Сократ)? И разве вы не видите, что я могу поставить «x есть человек» вместо 'fx: «и «x смертен» вместо yxc? И разве вы не видите, что это доказывает мое утверждение?» Ученик, который не мог бы следить за этим рассуждением и не мог бы следить за первоначальным силлогизмом, был бы психологическим монстром. И даже, если бы нашелся такой ученик, он все же должен был бы «видеть» ступени моего нового доказательства.

Из этого следует, что когда доказательство строится как можно проще, связь, утверждаемая на каждой ступени, должна быть данной. Но невозможно, чтобы связь на каждой ступени имела высшую степень правдоподобия, потому что даже наилучшие математики иногда делают ошибки. Действительно, наши восприятия логических связей между предложениями, подобно нашим чувственным восприятиям и нашим воспоминаниям, могут быть расположены по их степеням правдоподобия: в некоторых мы видим логическую связь так ясно, что нас нельзя заставить сомневаться в ней, тогда как в других наше восприятие связи настолько слабое, что мы не уверены относительно того, видим мы ее или нет.

Я буду далее исходить из допущения, что данное, в том смысле, который я определил в начале этого раздела, может быть недостоверным в большей или меньшей степени. Теоретически мы можем установить связь между этим видом недостоверности и видом, полученным из математической вероятности, если предположим, что недостоверность одного вида может быть установлена как большая, равная или меньшая недостоверность другого вида. Например, размышляя, я слышу слабый звук, но я не уверен в этом и теоретически могу сказать: наличие этого звука обладает той же степенью рационального правдоподобия, что и выпадение двойной шестерки на игральных костях. В какой-то степени такие сравнения могут быть проверены посредством сбора свидетельств об ошибках, касающихся слабых ощущений, и разработки их частоты. Все это неопределенно, и я не вижу, как можно сделать это определенным. Но во всяком случае это говорит за то, что недостоверность данных квантитативна и может быть равной или неравной недостоверности, получаемой из вывода о вероятности. Я буду исходить из допущения, что дело обстоит именно так, признавая вместе с тем, что на практике числовое измерение недостоверности какого-либо данного редко оказывается возможным. Мы можем сказать, что недостоверность равна половине, когда сомнение таково, что составляет равенство между верой и неверием. Но такое равновесие может быть установлено только посредством самонаблюдения и не может быть подтверждено каким-либо видом проверки.

Допущение недостоверности данных усложняет процесс оценки рационального правдоподобия предложения. Предположим, что определенное предложение p само по себе имеет степень правдоподобия x как данное; и предположим, что имеется также связь h между предложениями, имеющими внутренне присущее им правдоподобие у, из которого на основании доказательства, имеющего правдоподобие z, следует что p имеет степень правдоподобия w. Каково тогда общее правдоподобие p? Возможно, мы могли бы сказать, что он равно х + yzw. Но h также наверняка имеет как выводимое, так и внутренне присущее правдоподобие, и это будет повышать правдоподобие х. Действительно, усложнения скоро становятся трудно поддающимися анализу. Это ведет к некоторому сближению с теорией Гегеля и Дьюи.