Черная маска из Аль-Джебры

Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией. Только, пожалуйста, не путайте ее с арифметической. В арифметической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего на одно и то же число — оно называется разностью прогрессии. В геометрической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего в одно и то же число раз, и число это называется знаменателем прогрессии.

В нашей задаче знаменатель прогрессии равен двум. Если хотите, эту прогрессию можно записать и так:

20, 21, 22, 23, 24, 25, 26…

Нетрудно догадаться, что на шестьдесят четвертой клетке должно быть 263 — два в шестьдесят третьей степени зерен, потому что на первую клетку приходится 20 — два в нулевой степени зерен, то есть одно зерно. Но если вы попробуете сосчитать, чему равно два в шестьдесят третьей степени, вы ужаснетесь. Такого огромного количества зерен никогда не смог бы раздобыть жестокий шах. Он не смог бы даже прочитать это число. Вот оно: 9 223 372 036 854 775 808 — девять квинтиллионов двести двадцать три квадриллиона триста семьдесят два триллиона тридцать шесть миллиардов восемьсот пятьдесят четыре миллиона семьсот семьдесят пять тысяч восемьсот восемь… Уф!

Попробуйте подсчитать, сколько это килограммов риса, если каждое зернышко в среднем весит 0,0182 грамма. Знаете, что получится? Больше ста шестидесяти семи триллионов килограммов! Стоит ли доказывать, что моя задача хоть и проста, но практически невыполнима?

Шестерка поклонилась и села. Ей долго хлопали. Потом поднялась латинская буква Эн. Она сказала так:

— Уважаемая Шестерка познакомила нас с геометрической прогрессией, где все числа непрерывно растут. Такая прогрессия называется возрастающей. Я позволю себе занять ваше внимание сразу двумя геометрическими прогрессиями — возрастающей и убывающей. И сделаю это на одном и том же примере. Задача моя будет так же проста, как предыдущая, и так же невыполнима. Моя предшественница рассказала прелестную сказку об изобретателе шахмат и коварном шахе. Позвольте и мне задать вам задачу, связанную с шахматами.

Эн вынула из кармана платок, развернула его и показала публике. На платке были нарисованы шестьдесят четыре квадрата, черные и белые, — как на шахматной доске.

— Будем считать, — продолжала Эн, — что этот платок заменяет нам шахматную доску. Обратите внимание — толщина платка равна 0,1 — одной десятой миллиметра. Складываю платок пополам. Теперь его толщина стала вдвое больше: две десятых миллиметра. Зато и площадь его стала меньше в два раза. Складываю платок еще раз вдвое. Теперь его толщина в четыре раза больше первоначальной, но и площадь уменьшилась в четыре раза. Я предлагаю складывать этот платок вдвое до тех пор, пока возможно. А потом продолжайте складывать мысленно.

Эн бросила платок в зал, кто-то его подхватил и стал перегибать: раз, второй, третий… Перегнул в шестой и крикнул:

— Готово! Теперь видна только одна клетка. Толщина платка увеличилась в шестьдесят четыре раза. Ничего невозможного тут нет.

— Вы сложили платок только шесть раз, — возразила Эн самонадеянному зрителю, — а надо было шестьдесят четыре! Понимаете разницу? Если бы вам удалось это сделать, толщина платка стала бы такой большой, что он перерос бы горы, миновал солнце и уперся бы в какую-нибудь отдаленную звезду.

— А вы докажите! — крикнули в зале.

Тогда Эн стала решать задачу на доске.

— Неужели вы не догадались, что я почти повторила предыдущую задачу? После каждого перегибания толщина платка увеличивается вдвое и возрастает по закону геометрической прогрессии: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и так далее. Разница только в том, что после шестидесяти четырех перегибаний толщина платка станет больше не в 263, а в 264 раз. Оно и понятно: ведь эта прогрессия начинается не с 20 — двух в нулевой, а с 21 — двух в первой степени. Толщина развернутого платка 0,1 миллиметра. Чтобы вычислить толщину сложенного платка, надо 0,1 умножить на 264. Получается 1 844 674 407 371 километр.

Один триллион восемьсот сорок четыре миллиарда шестьсот семьдесят четыре миллиона четыреста семь тысяч триста семьдесят один километр.

А ведь расстояние от Земли до Солнца всего-навсего около ста пятидесяти миллионов километров!

Кажется, условие состязания выполнено: задача проста и практически невыполнима.

— А где же обещанная убывающая прогрессия? — спросил Сева.

— Да здесь же, — ответила Эн. — Ведь в то время как толщина платка увеличивается, площадь его все время уменьшается: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, и так далее. Это и есть убывающая геометрическая прогрессия. После шестидесяти четырех перегибаний площадь станет в 1/264 раз — в одну вторую, взятую в шестьдесят четвертой степени раз, меньше первоначальной. И если бы мы складывали платок дальше, то она все время приближалась бы к нулю, а толщина (или высота) стремилась бы к Великанам в Бесконечность. Вы согласны? Тогда благодарю за внимание.

В зале снова зашумели, захлопали. Барон Мюнхгаузен позвонил в колокольчик и сказал:

— Жюри одинаково восхищено и той и другой задачей. Обеим участницам вручается первый приз.