Черные дыры и складки времени. Дерзкое наследие Эйнштейна

Все источники, цитируемые в этих примечаниях, перечислены в библиографии. В примечаниях использованы следующие сокращения:

ЕСР-1, ЕСР-2 — The Collected Papers of Albert Einstein, Volume 1, Volume 2, в библиографии указаны как ЕСР-1, ЕСР-2.¹ ИНТ — Интервью, взятые автором, перечисленные в начале библиографии. МТУ — Мизнер, Торн и Уилер (Misner, Thorne and Wheeler, 1973).¹³⁰¹³¹

Пролог

Страница

15 [Из всех порождений ... большие трудности.] Этот параграф адаптирован из статьи (Thorne, 1974).

18 [Из периода обращения ... («10 солнечных масс»).] Формула Ньютона: M_h=Cl/(2nGPl), где M_h —масса дыры (или любого другого притягивающего тела), а С₀ и Р₀ — окружность и период любой круговой орбиты вокруг дыры, л = 3,14159 ..., a G — гравитационная постоянная Ньютона = 1,327х 10^м км7с¹³² на солнечную массу. См. примечание далее по тексту на с. 21. Подставляя в эту формулу период обращения звездолета Р_{) = 5 минут 46 секунд и окружность орбиты С₀ = 10⁶ километров, получаем, что M_h =10 солнечных масс. (Одна солнечная масса равна 1,989 х Ю³⁰ кг.)

20-21 [Что касается размеров ... тем больше ее горизонт.] Формула для окружности горизонта имеет вид C_h = 4nGM_h/c¹³¹ = 18,5 км х (М/М₀), где M_h — масса дыры, G — гравитационная постоянна Ньютона (см. выше), с = 2,998 х 10⁵ км/с — скорость света и М₀ = 1,989 х 10³⁽⁾ кг — масса Солнца. См., например, главы 31 и 32 МТУ.

27 [Именно из-за этих приливов ... приливной силой.] Приливная сила, выраженная как разность ускорений между вашей головой и вашими ногами (или между любыми другими объектами), определяется как Дя = = 167i¹³²G(M_h/C¹³²)L, где G — ньютоновская гравитационная постоянная (см.

выше), M_h — масса черной дыры, С — окружность, на которой вы находитесь, и L — расстояние между головой и ногами. Заметьте, что ускорение гравитации на Земле равно 9,81 м/с². См., например, с. 29 МТУ.

29 [ЗАРЯ напоминает, что согласно предсказаниям общей теории относительности ... становятся слабее.] Приведенная в предыдущем примечании формула дает для приливной силы А а ~ M_h/C³. Когда окружность близка к горизонту, С ~ М_ъ (примечание к с. 21), поэтому А а ~ 1 !М\.

30 [Весь путь — расстояние в 30100 световых лет ... займет всего 20 лет.] Время звездолета T_ship, время на Земле Т_Е и дальность полета D связаны соотношеними Т_Е = (2clg)sinh(gT_shipl2c) и D = (2c²/g)[cosh(#r_ship/2c)-l], где g — ускорение корабля (для «земной гравитации» 9,81 м/с²), с — скорость света, a cosh и sinh — гиперболические косинус и синус. См., например, главу 6 МТУ. Для полетов длительностью много большей одного года эти формулы дают приблизительно T_v - Die и T_ship = (2clg)ln(gDlc²), где In — натуральный логарифм.

31-32 [Чтобы оставаться на круговой орбите ... швырнула вас к центру.] Математическое исследование круговых (и иных) орбит вокруг невра-щающейся черной дыры см., например, в главе 25 МТУ, особенно Врезку 25.6.

33 [Расчеты показали ... на окружности в 1,0001 горизонта.] Ускорение, которое вы почувствуете, зависнув на окружности С над черной дырой с массой М_ъ и окружностью C_h, будет а = 4n²G(M_hIC²)l(l - C_h/C)^1/2, где G — гравитационная постоянная Ньютона. Если вы находитесь очень близко к горизонту, то С « C_h ~ M_h, и значит, а ~ 1/ М_ь.

33 [При использовании обычного ускорения в lg ... по часам звездолета.] См. примечание к с. 30 выше.

36 [Пятно уменьшилось ... видим на Земле.] Если зависнуть на окружности С чуть выше горизонта радиусом C_h, то свет из внешней Вселенной можно будет увидеть сосредоточенным в ярком диске с угловым диаметром а « Зл/З^/l -CJC рад « 300^1 -CJC град. См., например, Врезку 25.7 МТУ.

36-38 [Также необычно то, что цвета ... длиной волны 5 х 10 ⁷ метра.] Если зависнуть на окружности С чуть выше горизонта C_h, то длина волны света X из внешней Вселенной будет иметь синеволновое смещение (эффект, обратный красному гравитационному сдвигу) к А,_нрния10 /А,_{излучеио} = = ф - CJC . См., например, с. 657 МТУ.

42 [Подставив эти числа ... через 7 дней.] Когда две черные дыры массой М_ъ каждая обращаются вокруг друг друга на расстоянии D, они имеют период обращения 2nyjD³/2GM_h, а сила отдачи испускаемых ими гравитационных волн заставит их сблизиться по спирали и слиться через время (5/512) х (c⁵/G³)(Z)⁴/M_h³), где, как и выше, G — гравитационная постоянная Ньютона, а с — скорость света. См., например, уравнение (36.17Ь) в МТУ.

46 [Кольцо имеет длину окружности в 5 миллионов километров ... искривления пространства-времени.] Человек, находящийся на собранном из балок кольце, на расстоянии L от внутренней поверхности почувствует ускорение а - (24n*GMJO)L, направленное к центральному слою, на одну треть вызванное центробежными силами вращающегося кольца и на две трети приливными силами черной дыры. G — гравитационная постоянная Ньютона, M_h — масса дыры и С — окружность центрального слоя кольца. Для сравнения гравитационное ускорение на поверхности Земли равно 9,81 м/с². См. примечание к с. 27 выше.