Чёрная маска из Аль-Джебры

Мнимая Единица с жёлтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички -1 и превратилась в действительное число — Отрицательную Единицу. Возле таблички -i она снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и — невероятно! — опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да ещё положительную. А потом как ни в чём не бывало возвратилась к табличке i. Тут она снова стала Мнимой.

Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и всё началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица всё превращалась и превращалась.

— Не понимаю, — сказал Сева. — Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная — опять в Мнимую… Как это?

— На то и возведение в степень! — отозвалась Мнимая Единичка. — Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы:

i = √-1.

Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?

— Подкоренное число, — ответил Олег,

— Так это же мы недавно видели! — вспомнил Сева. — Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трёх, то корень квадратный из двух… И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.

— То же самое происходит и с Мнимой Единицей:

i² = i • i = (√-1)² = -1.

— Ну, это понятно. А как же действительное число — минус единица превращается в мнимое?

— При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень:

i³ = i² • i.

А это ведь всё равно что умножить минус единицу на i:

-1 • i = -i.

— Теперь, — сказал Олег, — нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом -i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс +1. Она возводится в четвёртую степень:

i⁴ = i² • i².

А это можно представить себе и так:

-1 • -1 = +1.

— Прекрасно! — воскликнула Мнимая Единичка. — Остаётся выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.

В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.

— Не может быть! i⁵ равно i?! — растерялись мы. — Что же это такое?

— Да ничего особенного: i⁴ = 1. Чтобы получитьi⁵, умножим единицу на i. А это ведь всё равно что i, взятое один раз, то есть просто i:

1 • i = i.

— Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвёртую степень? — удивился Олег.

— Отчего же! — возразила Мнимая Единичка. — Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую… Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!

Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i¹⁷?

— Ну, это совсем нетрудно, i в пятой равно i, — сказала Мнимая Единичка. — Значит, i в девятой тоже равно i…

— Понимаю! — перебил Сева. — Каждый раз надо прибавлять к показателю степени четыре: i¹³ равно i, значит, i¹⁷ тоже равно i.

Вот, Нулик, хорошая задача для твоих учеников. Попробуйте вычислить, чему равно i²⁴? А чтобы вам легче было, загляните в чертёж мнимой карусели.

Долго ещё любовались мы превращениями Мнимых Единиц, а когда уже собрались уходить, Сева хлопнул себя по лбу:

— Чуть не забыл спросить! Вы сказали, что при возведении в степень Мнимые Единицы движутся по кривой. А ведь здесь они движутся по окружности!

— Окружность тоже кривая, но такая, где все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. При умножении и возведении в степень перемещаются по окружности только Мнимые Единицы.

— А как движутся другие мнимые числа при возведении в степень? — спросил Олег. — Два i, три i, четыре i?

— На нашей карусели вы этого не увидите, — сказала Мнимая Единичка. — Да оно и к лучшему. Нельзя же всё сразу…

— Всякому овощу своё время? — подмигнул Сева.

— Пожалуй, — улыбнулась Мнимая Единичка.

Мы поблагодарили её и распрощались. Но тут пришла очередь Олегу хлопать себя по лбу.

— Извините, пожалуйста, — сказал он, обернувшись, — а зачем вообще нужны мнимые числа?

— Это вы поймёте, когда начнёте решать уравнения второй и третьей степени. Там в ответе часто получаются мнимые числа.

— На что нужны уравнения с мнимыми ответами? — буркнул Сева.

— Спросите об этом у физиков, химиков, инженеров, астрономов… Мнимые числа помогают им решать вовсе не мнимые, а действительно важные практические задачи.

— Но почему же тогда вас называют мнимыми?

— По привычке, — грустно ответила буковка i. — Так нас окрестил французский учёный Рене Декарт. Это было в семнадцатом веке, когда мнимые числа ни во что не ставились. Но с тех пор многое переменилось. Если бы Декарт жил в наши дни, он непременно придумал бы для нас более подходящее название.

— Например, «необходимые числа», — сказал Олег.

— О! Это было бы чудесно! — вздохнула Мнимая Единичка.

Мы ещё раз попрощались и ушли. На этот раз совсем.

Таня.

Аль-мукабала! (Сева — Нулику)

Селям алейкум, старина! Я теперь тоже умею говорить по-восточному. Поживёшь в Аль Джебре — не то ещё узнаешь!

Сегодня мы учились решать уравнения. Правда, пока ещё первой степени. Но и это не так уж мало.