Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Единственная проблема заключается в том, что карманный калькулятор Смайли не может вместить число 1 977 326 743. На дисплее калькулятора умещается только восемь разрядов. На попытки разместить на дисплее большее число калькулятор отвечает словом «ошибка». Смайли счел слишком утомительным считать вручную, не говоря о том, что это было еще и слишком опасно. При расчетах он не мог, просто не имел права допустить ошибку. Однако Смайли весьма изящно вышел из этого затруднительного положения.

Он не стал прямо вычислять чудовищное число 7¹¹, но лишь для начала только степени 7¹ = 7, 7² = 7 × 7, 7 ⁴ = 7² × 7² и 7⁸ = 7 ⁴ × 7 ⁴. Первые два произведения он мог легко вычислить в уме: 7¹ = 7 и 7² = 49. Для выполнения следующих вычислений он берет в руки калькулятор, получает 7 ⁴ = 49 × 49 = 2401 и сокращает этот результат, пользуясь своей числовой системой: модуль 221 содержится в числе 2401 10 раз, и вычитание 2401 — 221 × 10 = 2401 — 2210 дает в результате 191. Поэтому Смайли пишет 7 ⁴ ≡ 191. Для вычисления 7⁸ = 7 ⁴ × 7 ⁴ Смайли использует остаток 191: умножение этого числа само на себя дает в результате 36 481. Модуль 221 содержится в этом числе 165 раз. Вычитая 165 × 221 = 36 465 из 36 481, Смайли получает 16 и пишет 7⁸ ≡ 16. В результате он получает следующий список:

7¹ ≡ 7, 7² ≡ 49, 7⁴ ≡ 191, 7⁸ ≡ 16.

Для того чтобы вычислить величину 7¹¹, Смайли должен еще подсчитать произведение 7⁸ × 7² × 7¹, потому что сумма 8 + 2 + 1 дает в результате показатель степени 11. Для подсчетов Смайли использует полученные им остатки и получает в результате 16 × 49 × 7, то есть 5488. Модуль 221 целиком содержится в этом числе 24 раза. При вычитании 5488 — 24 × 221 Смайли получает результат 184, то есть то же число, что и выше: 7¹¹ ≡ 184. Смайли радирует в Лондон: «Было бы неплохо выпить чаю со 184».

Ни один из советских шпионов ни за что не догадается, что за числом 184 прячется скромная семерка. Это может узнать только лондонский Цирк. Тоби Эстерхази, тот самый человек, который в Цирке отвечает за декодирование зашифрованных депеш, лезет в свой сейф и достает оттуда документ с грифом «Совершенно секретно», в котором записана относящаяся к модулю 221 и степени 11 «секретная экспонента». Эту экспоненту (показатель степени) знает только Цирк и носится с ней как курица с яйцом. Эта экспонента известна лишь самому узкому кругу посвященных. Относящаяся к модулю 221 и показателю степени 11 экспонента равна 35.

Чтобы расшифровать донесение Смайли, Тоби Эстерхази поступает приблизительно так же, как Джордж Смайли. Он записывает присланное ему кодовое число 184 и умножает его само на себя 35 раз, то есть делает именно то, чего требует от него секретная экспонента из бронированного сейфа. Однако 184³⁵ — это чудовищно громадное число с 80 разрядами. Для бедного Эстерхази это непосильная задача. Но так же, как Смайли, Тоби Эстерхази знает, как помочь этому горю. Он вычисляет значения последовательности степеней числа 184 — 184¹, 184², 184⁴, 184⁸, 184¹⁶, 184³², причем все результаты Тоби немедленно сокращает на модуль 221. Ряд чисел приобретает следующий вид. Первым идет число 184¹ = 184. Затем следует 184 × 184, то есть число 33 856. В этом числе модуль 221 содержится 153 раза. Тоби Эстерхази считает:

33 856 — 153 × 221 = 33 856 — 33 813 = 43

и приходит к результату 184² ≡ 43. Теперь для следующей степени Тоби имеет: 184⁴ = 184² × 184². Для вычисления этого произведения Тоби умножает остаток 43, соответствующий 184², на то же число, то есть на 43. 43 × 43 = 1849. Модуль 221 содержится в этом числе 8 раз. Тоби считает дальше и приходит к результату 184⁴ ≡ 81. Тоби переходит к следующей степени: 184⁸ = 184⁴ × 184⁴. Это число Эстерхази определяет с помощью перемножения само на себя числа, равного остатку, соответствующему числу 184⁴, то есть 81. 81 × 81 = 6561. Модуль 221 содержится в этом числе 29 раз. Тоби считает:

6561 — 29 × 221 = 6561 — 6409 = 152

и приходит к результату 184⁸ ≡ 152. Переходим к следующей степени: 184¹⁶ = 184⁸ × 184⁸. Ее Тоби вычисляет с помощью соответствующего числу 184⁸ остатка 152, который Тоби умножает на то же число. 152 × 152 = 23 104. Модуль 221 содержится в этом числе 104 раза. Тоби считает

23 104 — 104 × 221 = 23 104 — 22 984 = 120

и приходит, следовательно, к результату 184¹⁶ ≡ 120. Теперь настала очередь степени 184³² = 184¹⁶ × 184¹⁶. Перемножение числа, равного остатку, соответствующему числу 184¹⁶, то есть 120 с самим этим числом дает в результате 120 × 120 = 14 400. Модуль 221 содержится в этом числе 65 раз. С помощью следующего расчета

14 400 — 65 × 221 = 14 400 — 14 365 = 35

Тоби находит, что 184³² ≡ 35.