Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

В этой шахматной игре математики слово «бесконечный» является не чем иным, как фигурой. И так же, как шахматный король не владеет королевством, не правит народом и не творит историю, а является всего лишь точеным куском дерева в руке игрока, бесконечное, согласно правилам игры Гильберта, является лишь пустым понятием, которому не соответствует ни нечто действительно великое, ни просто большое. «Бесконечное» — это всего лишь слово, с которым обходятся в соответствии с предписанными правилами. Следует, таким образом, показать, чего позволяет достичь отточенная строгой системой правил математическая «шахматная игра», в которой «бесконечное» — это такая же фигура, как, например, король в обычных шахматах, — и нужно просто следовать законам конечной арифметики, то есть вычислительным операциям с хорошо известными конечными числами. С одной стороны, все встречающиеся в этой математике формулы могут быть либо истинными, либо ложными, а с другой стороны, могут оказаться парадоксальными, но не противоречивыми, то есть не ведущими в логический тупик.

Сотрудники Гильберта, и среди них Пауль Бернайс, Вильгельм Аккерман, Жак Эрбран и Джон фон Нейман, сразу и со всей серьезностью отнеслись к программе своего наставника. В связи с этим стоит сказать пару слов о каждом из этих людей.

Пауль Бернайс родился в Лондоне и впоследствии стал жителем Цюриха. В молодости он учился в Париже, Берлине, а затем в Гёттингене. В Гёттингене (с небольшим перерывом на поездки в Цюрих) Бернайс преподавал до 1933 г. Изгнанный из Германии как еврей, он уехал в Швейцарию, где до конца жизни проработал в Высшей технической школе Цюриха. Вместе с Джоном фон Нейманом он разработал изящную систему правил, состоящую из аксиом, рассматривающих как числа, так и «бесконечное» как «фигуры» математической «игры». Надо было всего лишь доказать, что эта система аксиом полна и непротиворечива.

Вильгельм Аккерман был одним из самых верных учеников Гильберта, которому, несмотря на все его усилия работать с программой своего учителя, путь в университет так и остался закрытым. Он выбрал для себя профессию преподавателя гимназии и почти до самой смерти безупречно исполнял эту обязанность. Ходили упорные слухи о том, что Гильберт не пустил Аккермана в университет из-за женитьбы. «О, это же просто великолепно! — будто бы воскликнул Гильберт[31], когда узнал о свадьбе Аккермана. — Для меня это хорошая новость. Ибо если этот человек настолько безумен, что женился и даже завел ребенка, то теперь я свободен от всяких обязательств перед ним».

Жак Эрбран в 1925 г. блестяще окончил Высшую нормальную школу в Париже, а затем учился в Гёттингене у Джона фон Неймана и Эмми Нётер. Он был знаком с программой Гильберта, внес в ее разработку многообещающий вклад, но, к несчастью, погиб во время восхождения в Альпах в возрасте двадцати трех лет.

Джон фон Нейман появился на свет в 1903 г. в тогда еще императорско-королевском Будапеште. Звали его тогда Нейман Янош, и он был отпрыском преуспевающего банкирского семейства. С детства он поражал всех своими разносторонними дарованиями: говорил на дюжине языков, на некоторых из них быстрее носителей. В Будапеште и Цюрихе он проявил блестящие дарования в химии и математике; для квантовой физики он создал логически законченную систему аксиом, как в свое время Гильберт для геометрии; человечество обязано Джону фон Нейману изобретением «архитектуры», лежащей в основании вычислительной техники; совместно с Оскаром Моргенштерном разработал математическую теорию игр, а на склоне лет консультировал стратегов из внешнеполитического и военного ведомств Америки. С его пылким характером, невероятными познаниями, потрясающим мышлением и безусловной порядочностью, Джон фон Нейман считался и был на самом деле мастером на все руки в науке. Кому, как не ему, можно было доверить скорейшее воплощение в жизнь программы Гильберта.

Действительно, уже в первые годы выполнения программы Гильберта были получены обнадеживающие частные результаты. Казалось, Гильбертово воинство почти достигло его цели — опровергнуть «ignorabimus» Дюбуа-Реймона от математики.

Сам Гильберт, однако, уже не имел в виду изобретателя лозунга «ignorabimus», когда в 1925 г. провозглашал свою программу, ибо к тому времени Дюбуа-Реймона уже тридцать лет как не было в живых. К этому шагу Гильберта побудил вполне живой и очень активный противник: Герман Вейль, критик, поставивший под сомнение возможность вычислений с числами с бесконечным десятичным представлением, вычислений, возможность которых провозгласил Гильберт в своей программе. Было горько сознавать, что противником оказался лучший его ученик.

Всемогущество вместо всеведения

Математик от интуиции