Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Этот парадокс восходит к немецкому математику Георгу Кантору, открывшему его в 1873 г. В этом парадоксе он обнаружил поистине удивительное свойство бесконечного: иногда бесконечное множество может быть «счетным». Под этим термином имеют в виду, что такое множество можно упорядочить как последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, …. Например, это бесконечное множество комнат в отеле Гильберта, каждая из которых даже помечена соответствующим номером на двери. Или это бесконечное множество туристов в огромных автобусах. Или это бесконечное множество автобусов на исполинской парковке «отеля Гильберта». Каждый элемент бесконечного счетного множества будет когда-нибудь обязательно назван в процессе перечисления. Рассказанная выше история показывает, однако, что бесконечное множество может оказаться и «несчетным». То есть невозможно так упорядочить несчетное множество, чтобы каждый его элемент соответствовал бы какому-то натуральному числу и был бы когда-нибудь назван при перечислении. Выходящее за все мыслимые пределы число возможностей для бесконечного множества туристов в каждом отдельном случае решить, остаться ли в «отеле Гильберта» или проследовать дальше, как раз и представляет собой пример такого хаотичного, несчетного бесконечного множества.

Разницу между счетным и несчетным множеством лучше всего пояснить двумя примерами. Счетное множество соответствует очереди на автобусной остановке в Лондоне. Англичане славятся своим умением дисциплинированно выстраиваться в очереди — в затылок друг другу. Надо теперь лишь вообразить, что на остановке — если угодно, можно назвать ее «остановкой Гильберта» — выстроилось бесконечное множество людей. Но и в этом случае среди них есть первый, второй, третий и так далее. Каждому из этих людей соответствует некоторое число — его личный номер. Каждый человек знает, что, когда в автобус войдут люди с меньшими номерами, настанет его очередь.

Несчетному же множеству соответствует давка в гардеробе Венского музыкального общества после окончания концерта филармонического оркестра: все любители музыки — а в «гардеробе Гильберта» их бесконечное множество — без всякого порядка лезут к гардеробщицам, чтобы получить пальто. В вестибюле царит немыслимый кавардак. Бедная гардеробщица абсолютно беспомощна. В этой толчее ей ни за что не удастся установить хоть какой-то порядок в выдаче верхней одежды. Всегда найдутся любители музыки, чувствующие себя оттесненными и потерявшие всякую надежду получить пальто.

Программа Гильберта

Какими бы странными и причудливыми ни казались нам сценарии «отеля Гильберта», «остановки Гильберта» и «гардероба Гильберта», они были очень важны для самого Гильберта, стремившегося внести ясность в эти сценарии, ибо в них отражен его метод вычислений, связанных с числами с бесконечным десятичным представлением. Вспомним, что величиной

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…

надо овладеть во всей ее полноте и цельности. Самым демоническим в этом представлении числа π являются три точки … после первых 35 цифр после запятой. Как нам понимать эти точки? Самый правдоподобный ответ заключается в том, что π имеет не 35 знаков после запятой; этих знаков после запятой в данном числе бесконечное множество. Выше приведены 35 первых знаков. Все остальные — а их бесконечно много! — представлены коротким символом многоточия ….

«Но тогда позволительно задать вопрос, — скажет скептик в ответ на вышеприведенные рассуждения, — встречается ли, например, цифра ноль, которая в последовательности первых тридцати пяти цифр после запятой встречается всего один раз, бесчисленное множество раз в бесконечной записи числа π».

«Совершенно верно, — ответил бы на это Гильберт, — и в тех десятичных представлениях числа π, которые были до сих пор вычислены, цифра ноль встречается с той же частотой, что и все остальные цифры: в последовательности из 100 знаков после запятой цифра ноль встречается десять раз, в последовательности из тысячи знаков — сто раз, в последовательности из десяти тысяч знаков — тысячу раз и так далее».

«Пока число π вычислено до конечного числа знаков после запятой, — вставляет свое слово скептик. — Для остальных знаков — а их бесчисленное множество, то есть намного больше, чем вычисленных, — вы этого не знаете».

«Признаю, что вы правы. Для всего бесконечного множества знаков после запятой у меня в настоящий момент нет ответа. Но я тем не менее убежден, что либо верным является утверждение о том, что в десятичном представлении числа π цифра ноль встречается бесконечное число раз, либо верно утверждение о том, что число ноль встречается в этом представлении конечное число раз».

«И какое же из этих двух утверждений верно?»

«Определенно, что одно из них. — Настойчивость скептика начинает действовать Гильберту на нервы. — Но поверьте мне: передо мной стоит намного более важная задача, нежели углубляться в нерешаемую в принципе задачу о количестве цифры ноль в десятичном представлении числа π».