Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Однако вычислить квадратный корень из числа π, напротив, невозможно, ибо, прежде чем нажать клавишу извлечения квадратного корня, надо набрать все десятичные знаки числа π. Но это невозможно. Бесконечные числа не поддаются действиям такими методами.

Естественно, на практике человек наберет в поле исходного числа значение 3,142 и нажмет кнопку вычисления квадратного корня. Возможно, человек этот сравнит результат с результатами, полученными при вычислении квадратного корня из чисел 3,1416 и 3,14159, и если значения необходимых для вычисления знаков остаются стабильными, то этого вполне достаточно для практики. Однако математик, требующий точности, должен признать, что ни один из этих результатов не является истинным значением квадратного корня из π, так как невозможно ввести в компьютер его точное значение.

Эта проблема немного напоминает приближенное построение Коханского. Положение фон Линдемана с непреложной надежностью утверждает, что невозможно разрешить квадратуру круга с помощью циркуля и линейки. Площадь квадрата Адама Коханского очень близко подходит к площади идеального квадрата, но никогда ее не достигает.

Однако точно так же, как «существует» идеальный квадрат, площадь которого совпадает с площадью данного круга, — а именно в нашем мышлении, — «существует» и точный квадратный корень из числа π — тоже в нашем мышлении. На точность компьютерного результата, напротив, полагаться не стоит.

Давид Гильберт был убежден в следующем: так же как мы полагаемся на арифметику целых чисел, мы имеем право допустить, что и вычисление чисел с бесконечным десятичным представлением может быть точным и надежным.

Гильберт разделял это убеждение с Ньютоном и Лейбницем, первооткрывателями «исчисления», которое, как они полагали, можно использовать для операций с числами с бесконечным десятичным представлением, как и для расчетов с целыми числами. Гильберт разделял это убеждение и с теми многочисленными математиками, которые развивали и усовершенствовали «исчисление» Ньютона и Лейбница для разнообразных приложений.

Но Гильберт понимал, что одного лишь убеждения недостаточно. Действительно, существуют своеобразные феномены, когда с бесконечными числами начинают обходиться как с абсолютно безобидным понятием. Но потом, когда в игру вступает бесконечное, логика отказывает.

Гостиница парадоксов

С чем мы должны считаться, когда бесконечное уживается в мышлении рядом с конечным? Лучше всего для этого оценить диапазон этих понятий на образном примере: представим себе обычную гостиницу, то есть гостиницу с конечным числом номеров. (Для простоты мы примем, что гостиницы, о которых мы будем здесь говорить, предоставляют постояльцам только одноместные номера.) В одной гостинице с конечным числом номеров их можно перечислить в последовательности от 1 до, скажем, 313. После этого номера заканчиваются. В гостинице 313 номеров и ни одного больше. Если в гостинице проживают 313 постояльцев, то она заполнена до отказа. Если в такую гостиницу приходит человек и просит предоставить ему номер для ночлега, администратор не сможет этого сделать, и у того человека нет никаких шансов получить номер.

Совершенно по-другому обстоят дела в «гостинице Гильберта», располагающей бесчисленным количеством номеров. В этой гостинице тоже можно считать номера начиная с 1, но… число номеров в «гостинице Гильберта» никогда не заканчивается. К каждой комнате вдоль бесконечно длинного коридора этой гостиницы примыкает следующая комната. Применив перспективу, которой так виртуозно владели художники Возрождения, мы получим изображение ряда дверей, исчезающих в точке схода перспективы. Изображения дверей будут становиться все меньше и меньше — сначала они станут неразличимы невооруженным глазом, затем неразличимы при взгляде через лупу, а затем и под микроскопом. Но при этом мы знаем: этот ряд не кончается никогда. Может быть, именно перспектива, заставляющая видеть, как уходящие в туманную даль два параллельных рельса железнодорожного пути сходятся в одну точку, породила у некоторых людей иллюзию, что бесконечное можно охватить разумом.

Но, как бы то ни было, «гостиница Гильберта» никогда никому не отказывает, ибо, если все номера в этой гостинице заняты, но к администратору подходит новый гость, его желание будет исполнено — он получит место для ночлега. Администратор распорядится, чтобы каждый постоялец поменял свою комнату на комнату с номером, большим на единицу. Таким образом, постоялец из первого номера переедет во второй, постоялец второго — в третий и так далее. Каждый постоялец гостиницы легко найдет свой новый номер, так как его номер будет всего на единицу больше, чем у старого. Первый же номер освободится для нового постояльца.