Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Юлий Цезарь охотно пользовался этим методом шифрования при составлении секретных посланий. Например, мы хотим использовать латинский алфавит с его 23 буквами (I и J обозначались одной буквой I, так же как звуки U и V обозначались одной буквой V, а буква W вообще появилась только в Средние века для обозначения удвоенного V) для расшифровки по методу атбаш следующего тайного послания:

ZNTZ PZXEZ TFE.

Для этого нам надо всего лишь дважды записать последовательность букв латинского алфавита: сначала слева направо, а потом справа налево, — поместив вторую строчку строго под первой:

Из этой таблицы становится ясно, что каждую букву Z надо заменить буквой A, каждую букву T — буквой E, букву P — буквой I, букву X — буквой C, букву E — буквой T, а букву F — буквой S. Заменив буквы по этой схеме, мы прочтем послание Цезаря:

ALEA IACTA EST,

что в переводе означает «Жребий брошен». Это очень известная латинская цитата. Эти слова Цезарь якобы произнес при переходе реки Рубикон. Перейти Рубикон с войском означало начало гражданской войны. После перехода Рубикона пути назад для Цезаря уже не было.

Можно, однако, довольно скоро догадаться, что метод шифрования по методу атбаш слишком прост. На роль надежной системы кодирования атбаш не годится. Если секретная служба располагает методами дешифровки, то она в мгновение ока «расколет» донесение, зашифрованное этим методом.

То, что Джордж Смайли шифровал имя агента не с помощью системы атбаш, даже не обсуждается. Однако и другие, похожие методы, например, заменять каждую букву непосредственно следующей за ней (Цезарь, кстати, применял и такую систему шифрования), не представляли никакой загадки для бывалых восточных шпионов. Смайли должен был использовать более изощренную систему.

Смайли знал, как надо поступить, и потребовал от лондонской штаб-квартиры Цирка прислать ему вспомогательное средство для кодирования. В ответ он получил из Лондона два числа: модуль 221 и степень 11.

Как куют и раскрывают тайны

Сразу возникает закономерный вопрос: как смог Цирк прислать Смайли «модуль 221» и «степень 11» и при этом сделать так, чтобы об этом не пронюхали восточные шпионы? Ответ прост: ни Цирку, ни Смайли не надо было тратить силы на то, чтобы удержать в тайне оба этих числа. Их мог знать кто угодно. Не только Смайли, но и Карла, его заклятый противник, который, сидя в далекой России, дергал за ниточки, управлявшие всей работой советских спецслужб. Карла тоже знает, что делает Смайли для того, чтобы надежно зашифровать номер агента с помощью модуля 221 и степени 11.

Смайли же начинает вычислять.

Вычисления Смайли на первый взгляд кажутся весьма своеобразными, ибо в результатах у него может появиться 221 число — столько диктует ему модуль, а именно числа:

0, 1, 2, 3, 4, …, 216, 217, 218, 219, 220.

Из каждого большего числа он вычитает 221 столько раз, сколько нужно для того, чтобы получить какое-либо число из этого списка. Так, 221 он заменяет на 0, 222 — на 1, 223 — на 2, 224 — на 3 и так далее. Из числа 1000 Смайли должен вычесть число 221 четыре раза, то есть наибольшее целое число раз, сколько 221 содержится в 1000. Произведя вычитание 1000 — 4 × 221 = 1000 — 884, Смайли получает 116. Вместо всех этих вычислений Смайли пишет 1000 ≡ 116. Вместо двух горизонтальных черт обычного знака равенства = Смайли пишет знак ≡ из трех горизонтальных черт. Гаусс, изобретатель этого символа, говорил в таких случаях, что 1000 и 116 конгруэнтны по модулю 221.

Можно представить себе числа в виде точек, расположенных на окружности. 221 точка, обозначаемые числами от 0 до 220, расположены на равных расстояниях друг от друга на окружности. Эти точки образуют вершины правильного многоугольника с 221 углом. Смайли считает и вычисляет так, словно идет вдоль этих точек на окружности.

Смайли зашифровывает число 7 агента 007 следующим способом: умножает число семь само на себя одиннадцать раз — то есть столько, сколько требует присланный ему из Цирка показатель степени, — а потом выясняет, какому из 221 числа его системы конгруэнтна одиннадцатая степень числа 7. Это число Смайли сообщает по радио в Лондон. Число 7¹¹ очень велико. Если его записать обычным способом, то оно выглядит так:

7¹¹ = 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 1 977 326 743.

Модуль 221 содержится в этом числе 8 947 179 раз. Если вычесть произведение 8 947 179 на модуль 221 из числового монстра 7¹¹, то остаток будет равен 184. Это число Смайли и должен отправить начальству в Лондон, ибо оно кодирует зашифрованное число 7.