Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

При взгляде на него возникает впечатление, что в последовательности простых чисел нет никакой закономерности. В их последовательности мы не наблюдаем никакой регулярности. Эратосфен также понимал, как можно усовершенствовать и расширить систематизацию простых чисел, для чего вычислил все простые числа в промежутке между 1 и 1000. Однако аргумент Евклида гласит, что никакой конечный список не может содержать все без исключения простые числа. То есть ни один конечный список простых чисел не является исчерпывающим.

Спорадическое появление простых чисел в ряду следующих друг за другом натуральных чисел вызывает удивление: между следующими друг за другом простыми числами 19 609 и 19 661 мы видим довольно большой промежуток. Напротив, разность между числами 19 697 и 19 699 равна всего лишь двум. Представляется, что не существует простого закона, определяющего порядок следования простых чисел.

В частности, мы пока не знаем, является ли простым число 4 294 967 297…

В поисках простых чисел

Во Франции времен кардинала Ришелье, когда знатные люди и богатые буржуа имели достаточно досуга для бесполезных, на первый взгляд, занятий, некоторые из них по-любительски — в лучшем смысле этого слова — занимались проблемой простых чисел. К числу таких людей принадлежали работавший на монетном дворе чиновник Министерства финансов Бернар Френикль де Бесси, образованный монах ордена «минимов» Марен Мерсенн и адвокат и парламентский советник Пьер де Ферма. Все они главным образом пытались отыскать формулу, согласно которой можно было бы получать простые числа.

Один из обманчивых рецептов, разработанный ими, гласил: для того чтобы получить простое число, надо взять число, сложить его с его квадратом и с числом 41. На первый взгляд такой принцип выглядит многообещающе. Действительно, если взять единицу, прибавить к ней квадрат единицы, то есть 1, а затем 41, то получится 43 — простое число. Если взять 2, то его квадрат равен 4. При сложении обоих чисел с 41 получится простое число 47. Взяв 3, мы получим 53, также простое число. Далее, если взять 4 и 5, то получатся тоже простые числа — 61 и 71 соответственно. Этот ряд не кончается долго. Например, возьмем число 10, возведем его в квадрат, сложим 100 и 10 и прибавим 41. Мы опять получим простое число — 151. Если взять число 36, прибавить 36² = 1296, а затем еще число 41, то получится простое число 1373. По этой формуле числа от 1 до 39 бесперебойно дают простые числа. Но потом система дает сбой. Прибавим к числу 40 его квадрат, 40² = 40 × 40, и в результате получим число, равное произведению 40 × 41. Если же к этому числу прибавить число 41, то получится число 41 × 41 = 41². Это число не может быть простым. (Это просто прекрасно, что для обоснования этого утверждения не надо ничего вычислять. Однако, разумеется, с тем же успехом можно указать на то, что сложение числа 40 с его квадратом 40² = 1600 дает в результате 1640, после увеличения которого на 41 мы получим число 1681. Можно легко удостовериться в том, что 1681 = 41² = 41 × 41, то есть не является простым числом. Но доказательство, позволяющее избежать вычислений, выглядит все-таки более изящно.)

Марен Мерсенн нашел еще один рецепт. Он вычитал из степеней 2, то есть из чисел

2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2⁷ = 128,

2⁸ = 256, 2⁹ = 512…

единицу и установил, что только в тех случаях, когда показатель степени является простым числом, результат вычитания из степени единицы является простым числом. Действительно, имеем:

2² — 1 = 3, 2³ — 1 = 7, 2⁵ — 1 = 31, 2⁷ — 1 = 127,

то есть простые числа. Вычитание единицы из представленной составным числом степени числа 2 ни в коем случае не может дать в результате простое число, как это видно из следующих примеров^{12}:

2⁴ — 1 = 15 = (2² — 1) × (1 + 2²) = 3 × 5,

2⁶ — 1 = 63 = (2³ — 1) × (1 + 2³) = 7 × 9,

2⁸ — 1 = 255 = (2⁴ — 1) × (1 + 2⁴) = 15 × 17,

2⁹ — 1 = 511 = (2³ — 1) × (1 + 2³ + 2⁶) = 7 × 73.

Мерсенн, однако, сам выяснил, что его рецепт действует не всегда, а точнее, весьма редко. Собственно, даже если показатель степени двойки выражен простым числом, разность между степенью и единицей не обязательно является простым числом. Хотя правило Мерсенна работает для показателей степени 2, 3, 5 и 7, сбой происходит уже при показателе, равном 11, ибо 2¹¹–1 = 2047, то есть произведению 23 и 89.

Тем не менее это не окончательный сбой. Мерсенн доказал, что иногда его формула работает и при показателях степени, больших 11. Действительно, он установил, что числа

2¹³ — 1 = 8191, 2¹⁷ –1 = 131 071 и 2¹⁹ — 1 = 524 287