Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Преимущество метода OTP перед методом RSA заключается в том, что шифрование первым методом является более надежным и трудно раскалываемым, нежели шифрование методом RSA. Второе преимущество заключается в том, что метод OTP в сравнении с методом RSA — если не считать некоторых довольно существенных деталей — намного проще по своей структуре. Поэтому этот метод шифрования до сих пор применяется на практике. Секретные службы недоверчивы и подозрительны: можно предположить, что, когда надо передать на самом деле горячую информацию, Смайли и его коллеги с большей охотой прибегают к методу OTP, нежели к методу RSA, несмотря на риск попадания метода расшифровки в руки противника.

Основная идея метода OTP основана на следующих фактах: каждое сообщение состоит из последовательности букв. Рассмотрим, например, двадцать шесть букв латинского алфавита, из которых мы составляем слова немецкого языка. Некоторые слова, например ОН (ER) или ДА (JA), короткие и состоят всего из двух букв, другие слова длинные и могут состоять из 24 и даже 28 букв. Для того чтобы наглядно показать принцип, мы простоты ради будем говорить только о словах, состоящих из десяти букв. Сколько в нашем языке слов, состоящих из десяти букв? Даже если проявить неслыханную щедрость, мы едва ли насчитаем больше полумиллиона таких слов. Сколько комбинаций по десять можно составить из 26 букв латинского алфавита? Их можно довольно легко подсчитать. Набор из десяти букв начинается с последовательности AAAAAAAAAA, дальше следует AAAAAAAAAB, AAAAAAAAAC, AAAAAAAAAD и так далее. Где-то в середине этого множества окажется слово МАТЕМАТИКА (MATHEMATIK), а окончится он набором ZZZZZZZZZZ. На последнем, десятом месте набора из десяти букв есть двадцать шесть возможностей поставить какую-либо из букв алфавита. На предпоследнем месте таких возможностей тоже двадцать шесть, и так далее, до тех пор, пока мы не доберемся до первого места, до первой буквы. На этом месте тоже существует двадцать шесть возможностей. Всего получается

26¹⁰ = 1 411 167 095 653 376,

то есть больше одного квадриллиона комбинаций по 10 из 26 букв алфавита. В сравнении с этой величиной полмиллиона осмысленных слов немецкого языка, состоящих из десяти букв, таких, например, как MATHEMATIK, представляются крошечной долей всех возможных комбинаций.

Кроме того, чем длиннее осмысленное сообщение, тем в большей степени попадает оно в белый шум всех мыслимых буквенных комбинаций равной длины.

Составлять ли сообщение из букв алфавита или из цифр — это лишь вопрос соглашения. Так как «герои» данной книги — числа и цифры, давайте будем представлять следующие послания в виде комбинаций цифр. Итак, мы принимаем, что Джордж Смайли, тайный агент, действующий в холоде за железным занавесом, хочет направить в Цирк донесение 0 0 7 0 0 7 0 0 7. Это донесение надо зашифровать.

Смайли снимает с правой ноги ботинок, поднимает стельку над подошвой и извлекает из тайника сложенный листок бумаги, который он кладет перед собой на стол и аккуратно расправляет. На листке бумаги записана такая последовательность цифр:

1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8…

Ниже этой строки Смайли цифру за цифрой вписывает свое донесение:

Теперь Смайли складывает написанные друг под другом цифры, но не обычным способом, а «по модулю десять». Делается это так: записывается лишь число единиц полученной суммы; если сумма превышает десять, то единицу просто отбрасывают. Например, результат сложения 9 и 5 записывают в виде 4, то есть число единиц суммы 14. Под конец лист бумаги выглядит так:

Нижняя последовательность, укороченная до длины послания, то есть

1 4 8 5 9 9 6 5 0,

и есть зашифрованное донесение. Его Смайли по радио передает в Цирк, после чего сжигает листок бумаги, так как никогда больше не будет использовать его для шифрования донесений^{18}. В подкладку его пальто зашит еще один лист бумаги с другой последовательностью цифр.

Тоби Эстерхази в лондонской штаб-квартире Цирка уже сидит у радиоприемника и ждет донесения Смайли. У него есть лист бумаги с такой последовательностью цифр:

9 6 9 5 1 8 4 5 7 5 2 1 3 1 7 8 7 2 6 4 8 4 6 7 7 2 7 8 3 1 5 0 8 2 2…

Почему именно такая последовательность? Если мы запишем под этой последовательностью цифр ту, которую Смайли хранил в подошве своего ботинка, то сразу угадаем ответ:

1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8…

9 6 9 5 1 8 4 5 7 5 2 1 3 1 7 8 7 2 6 4 8 4 6 7 7 2 7 8 3 1 5 0 8 2 2…