Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Но как получают такие последовательности цифр? Можно подумать, что нет ничего проще: садишься за клавиатуру компьютера и хаотично нажимаешь цифровые клавиши. Но такая методика ненадежна, и полагаться на нее нельзя. Нельзя, даже если на клавиши будут нажимать индейцы племени хопи, которые представляют совершенно чуждую нам культуру, не знают наших цифр и будут совершенно наугад нажимать на клавиши с непонятными символами. Эта методика будет ненадежна и в том случае, если стереть с клавиш символы цифр, убрать экран монитора и человек действительно вслепую будет ударять по клавишам. Не будет такой метод надежным, даже если за клавиатуру посадить не человека, а животное. Собственно, не важно, как конкретно будет исполнено это действо, — если нажимать на клавиши достаточно долго, то в последовательности чисел (или иных символов) неизбежно появится закономерность. Закономерность же — это злейший враг случайности.

На ум сразу приходит мысль — позаимствовать какой-нибудь случайный процесс у природы. Например, можно воспользоваться небольшими колебаниями напряжения, которые неизбежно возникают в электрических цепях. Или, например, распадом радиоактивных веществ, ибо квантовая теория учит, что такой распад непредсказуем и в принципе является случайным процессом.

Таким образом, квантовая механика сулит по меньшей мере теоретическую возможность кодирования, которое невозможно расшифровать. Однако, как говорил Гёте: «Теории — это обыкновенно результаты чрезмерной поспешности нетерпеливого рассудка, который хотел бы избавиться от явлений и подсовывает поэтому на их место образы, понятия, часто даже одни слова»(13). Рожденные в головах блестящие теории сильно отличаются от их воплощения на неподатливом материале.

Математика более надежна, нежели природа.

Нормальные числа

Если разделить на карманном калькуляторе 22 на 7, то на восьмиразрядном дисплее появится следующий результат:

22 ÷ 7 = 3,1428571.

Если воспользоваться более мощным прибором с 16-разрядным дисплеем, то получится:

22 ÷ 7 = 3,142857142857143.

Это наводит на предположение о том, что цифровая последовательность после числа 3 и запятой, а именно

1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7…

представляет собой бесконечную последовательность. Следовательно, математики уже путем простого арифметического действия, деления, могут производить бесконечные цифровые последовательности. Правда, данная последовательность не годится для шифрования по методу одноразового блокнота. В этой последовательности с первого взгляда прослеживается закономерность, уничтожающая всякую случайность.

Вероятно, предположит проницательный читатель, все дело в том, что для деления были взяты слишком малые числа, — и будет прав. Если, например, разделить 355 на 113, то, проявив терпение, можно получить следующее число:

355 ÷ 113 = 3,141 592 920 353 982 300 884 955 752 212 389 380 530 973 451 327 433 628 318 584 070 796 460 176 991 150 442 477 876 106 194 690 265 486 725 663 716 814 159 292 035 398…

Эта последовательность выглядит абсолютно случайной, но только на первый взгляд. Если присмотреться внимательно, то можно заметить, что в последней строке, начиная со 112-го места после запятой, снова появляется последовательность 14 159 292 035 398…, которая уже стоит сразу после запятой. При делении возникновение таких периодичностей неизбежно^{19}. Делить придется на огромные, специально приспособленные для десятичной системы числа^{20}, для получения периодов длинных настолько, чтобы на практике они не возникали. Однако отыскание подходящих делителей и выполнение самого деления являются очень трудоемкими, если надо получить действительно длинные периоды.