Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Пьер-Симон Лаплас перенес эти рассуждения на движение всех атомов во Вселенной. Согласно Лапласу, все в нашем мире — от взмаха крыльев насекомого и извержения Везувия до взрыва сверхновой звезды — определяется уравнениями. Не существует ничего, где в конечном счете математика не определяла бы правила игры. Даже после того, как теория относительности и квантовая теория внесли исправления в уравнения Ньютона, в принципе это высказывание осталось безусловно верным. В квантовой теории физическая система — будь то атом, молекула ДНК, кот в ящике, облако и все что угодно еще, описывается таинственной греческой буквой ψ, пси. Эта буква содержит всю информацию относительно системы. Пси не подчиняется ничему и никому, кроме математики, ибо повинуется только одному математическому уравнению, названному в честь Эрвина Шредингера^{27}.

Следовательно, математика действительно проникает во все на свете явления. И сама она, по твердому и непоколебимому убеждению математического гения Гильберта, противоречит утверждению Дюбуа-Реймона. Гильберт очень страстно сформулировал свое кредо: «В наших душах звучит вечный призыв: здесь есть проблема. Ищи ее решение! Ты найдешь его путем чистого размышления, ибо в математике не существует “ignoramus et ignorabimus”».

Гильберт изгоняет геометрическое восприятие

Еще до 1900 г. Гильберт показал изумленному научному миру, как именно удается математике стать повелительницей реальности.

Книга по геометрии, которую Евклид написал в III в. до н. э., во времена Гильберта все еще оставалась учебником для высшей школы, и до конца XIX столетия все ученые были убеждены в том, что, говоря о «точках», «отрезках», «окружностях», «треугольниках» или «квадратах», они имеют в виду нечто раз и навсегда устоявшееся и установленное. Есть и инструмент, с помощью которого можно конструировать и строить эти предметы, а именно циркуль и линейка. Если в плоскости чертежа находятся две удаленные друг от друга точки, то надо приложить к ним линейку и провести прямую, которой будут принадлежать обе точки. Ясно также, как надо установить циркуль в одну из точек, раскрыть его так, чтобы его вторая ножка достигла второй точки, а затем провести окружность, центр которой расположен в первой точке, а сама окружность проходит через вторую точку.

Но как, имея данную окружность, построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого была бы равна площади этого круга? Это знаменитый вопрос о «квадратуре круга», который в наше время воспринимают как метафору.

Гильберт «разрешает» квадратуру круга, при этом рассматривая проблему с двух точек зрения, и прежде всего — с точки зрения вспомогательных средств, имеющихся в нашем распоряжении. Здесь Гильберт мог опереться на работу своего бывшего учителя, профессора Кенигсбергского университета, перебравшегося позднее, в 1893 г., в Мюнхен, Фердинанда фон Линдемана, который раз и навсегда доказал: никогда не удастся с помощью циркуля и линейки разрешить проблему квадратуры круга.

Тем не менее утверждение фон Линдемана, несмотря на негативное выражение, ни в коей мере не противоречит лозунгу Гильберта о том, что математика не приемлет «ignorabimus». Это утверждение сообщает нам некоторое знание, а именно знание о том, что невозможно ни в коем случае. Так же невозможно, как, допустим, назвать 5 четным числом.

Кроме того, Гильберт рассматривает квадратуру круга с точки зрения объектов «круг» и «квадрат» как таковых. При таком подходе можно говорить о том, что для каждого круга существует квадрат равной ему площади. Еще в 1685 г. польский математик Адам Коханский изобрел изящное построение с помощью циркуля и линейки; Коханскому удалось построить на круге почти равный ему по площади квадрат. Толщина карандашной линии, шероховатость бумаги и несовершенство человеческого органа зрения не позволяли заметить разницу в площадях, настолько приблизился Коханский своим построением к идеалу. Приблизился почти вплотную. Пусть даже ему и не удалось в точности воспроизвести такой квадрат, все же в мыслях он существует.

Это была решающая идея, запавшая в душу Гильберта: геометрические объекты присутствуют не в своей чувственно воспринимаемой форме — они становятся для нас явными только потому, что мы можем их себе помыслить. Чувственно воспринимаемое изображение на листе бумаги есть лишь наглядное отражение этого мысленного образа. Так же думал когда-то Платон: не построенный на бумаге, а созданный в мыслях треугольник является по-настоящему «истинным», ибо только воображаемый умом треугольник может соответствовать своему идеалу.