Чувственная, интеллектуальная и мистическая интуиция

Действительно, такие суждения ставят философа лицом к лицу со свойствами мышления и бытия, которые представляются чудесными с точки зрения индивидуалистического эмпиризма, позитивизма и всякого антиметафизицизма: они не могут быть обоснованы ни индуктивно ни дедуктивно и тем не менее предстоят уму, как бесспорные истины вычитываемые умом прямо из состава идеального предмета созерцания который оказывается связанным бесчисленными нитями с множеством других идеальных предметов, образующих стройное бесконечно содержательное органическое целое. Ум человека и тем более разумность мира предстают в таком величии, которое обязывает к развитию не менее величественной системы метафизики, утверждающей духовную и более того, божественную основу мира. Исследователи, отказывающиеся вступить на путь такой метафизики, осуществляют все новые попытки построить ту или иную из основных наук (логику, арифметику, геометрию) как строго логически развертывающуюся систему, обходясь без ссылки на первичные наглядные или идеальные данности, без ссылки на интуицию, открывающую основные свойства бытия. В числе таких попыток особенного внимания заслуживает обоснование геометрии Д. Гильбертом с помощью метода, который он называет аксиоматическим.

Гильберт начинает свой труд «Grundlagen der Geometrie» словами: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками», вещи второй системы – прямыми, вещи третьей системы – плоскостями. «Мы мыслим точки, прямые и плоскости в известных взаимных отношениях и обозначаем эти отношения словами «лежать», «между», «параллельный», «конгруентный», «непрерывный»; точное и для математических целей полное описание этих отношений производится посредством аксиом геометрии». Далее Гильберт перечисляет эти аксиомы, разделенные им на пять групп. Вторая группа этих аксиом, называемая им группою аксиом расположения (Axiome der Anordnung), служит определением понятия «между». Она состоит из четырех аксиом; приведём три из них: 1) если А, В, С – точки прямой и В лежит между А и С, то В лежит также между С и А; 2) если А и С суть две точки прямой, то существует всегда по крайней мере одна точка В, которая лежит между А и С, и по крайней мере одна точка D такая, что С лежит между А и D; 3) среда трёх точек прямой всегда есть одна, и только одна, которая лежит между двумя другими [CCLXXXIV].

Выводы из аксиом Гильберт производит, пользуясь только определенными через аксиомы отношениями «между», «лежат» и т. д., а не какими-либо свойствами точек, прямых и плоскостей, дополнительными к этим отношениям и выводам из них. Неудивительно поэтому, что в дальнейшем оказывается следующее. Установленная им совокупность положений имеет значение не только для точек, прямых и плоскостей евклидовского пространства, но и для других объектов, напр. для линейного трёхмерного числового множества (lineare dreidimensionale Zahlenmenge) и вообще для всякого линейного трёхмерного многообразия [CCLXXXV].

Таким образом, Гильберту принадлежит заслуга разработки науки более общей, чем геометрия евклидовского пространства. Не следует однако, думать, будто метод обоснования этой науки принципиально отличен от традиционного метода евклидовской геометрии в тех его чертах, которые объясняются изложенным выше учением об отвлеченном логосе. Следующие три отличия могут быть ошибочно приписаны ему.

1. Гильберт формулирует свои аксиомы и выводы из них, не пользуясь никакими наглядными чувственными представлениями; его точки прямые и плоскости суть условные термины, обозначающие предметы которые могут совсем не быть элементами пространства. Но и в геометрии Евклида, где точки, прямые и плоскости суть элементы пространства, из этого ещё не следует, будто они даны как чувственно наглядные представления: они суть идеальные объекты, имеемые в виду в понятии т. е. доступные мысли, а не чувственному созерцанию. Правда, в евклидовской геометрии мышление осуществляется в связи с чувственным созерцанием наглядных реальных символов, однако не реальная сторона этих символов, а идеальный аспект их есть предмет мышления: знание что «две евклидовские прямые не замыкают пространства», иллюстрируется символом, дающим чувственное впечатление, но удостоверяется не этою чувственною данностью, а содержащимся в ней идеальным моментом неизменности направления прямой линии.

Во всеобщей геометрии Гильберта знание, что две прямые имеют не более одной общей точки, есть вывод из аксиом связи; но в геометрии евклидовского пространства это знание может быть получено более непосредственным путем, интеллектуальным созерцанием евклидовских прямых.