Чувственная, интеллектуальная и мистическая интуиция

2. Философы, отрицающие идеальное бытие, могут сказать, что интуитивизм и идеал-реализм утверждают идеальные данности отвлеченного логоса, независимые от индивидуально-психических актов познающего субъекта, тогда как аксиоматический метод Гильберта не пользуется никакими данностями, ни чувственными, ни идеальными; вся его геометрия есть построение человеческого духа, исходящее из аксиом содержащих в себе только произвольно предположенные им отношения между какими-то произвольно поставленными членами отношений х, у z, которые не наделены никакими свойствами, кроме свойства стоять друг к другу в отношениях, описанных посредством аксиом. Чтобы отдать себе отчёт, что правильно и что неправильно в. этом истолковании метода Гильберта, обратимся, напр., к его третьей аксиоме расположения: «между тремя точками прямой есть всегда одна и только одна, лежащая между двумя другими». Высказывание этой аксиомы, сопровождающееся пониманием её, есть не только ряд слов и не только ряд психических актов, текущих во времени как события: оно есть имение в виду элементов x1 x2 х3, обладающих определенным порядком именно таким, при котором x2 стоит в отношении «между» к x1 и х3, a x1 не стоит в отношении «между» к x2 и x3 так же и х3 не расположено «между» x1 и x2. В некоторых умах это имение в виду предшествуется волевым актом воображаемого упорядочения элементов x1 x2 х3, выразимого аксиомою Гильберта. Даже и в таких умах устанавливаемое ими отношение есть не психическое событие, а способ действования, порядок его; как всякий порядок, он не есть событие, текущее во времени следовательно, есть идеальный аспект действования. Этот порядок не есть нечто произвольно сотворенное впервые умом Гильберта; как некоторый определенный тип действования, он есть аспект отвлеченного логоса, присущий всем субъектам, всем субстанциальным деятелям мира. В самом деле, каждое, напр., отталкивание, производимое рукою человека, каждое отталкивание, производимое любым электроном, есть действование, осуществляемое согласно этому типу порядка. К области произвола, субъекта при установке рассматриваемой аксиомы относится только то, что из всего множества аспектов отвлеченного логоса выбран для мышления именно этот аспект, причём субъект совершает акт отвлечения, требующий особенного волевого напряжения, именно он отвлекается от всех свойств членов отношения «между». Перечисленные волевые напряжения (акт отвлечения, акты воображаемого упорядочения) настолько выдвигаются на первый план, что получается иллюзия будто и самые формы порядка суть произвольные творения человеческого духа.

3. Могут сказать, наконец, что строго логический характер обоснования геометрии Гильберта отличает его систему от традиционной евклидовской геометрии: исхода из ряда определений, данных посредством групп аксиом, Гильберт, опираясь на них, развивает систему геометрии путём дедуктивных умозаключений; следовательно, скажут, он нигде не имеет дела с синтетическою необходимостью следования, всякий переход от одной мысли к другой представляет у него собою аналитическую необходимость следования (т. е. логическую связь, сводящуюся к закону тожества, противоречия и исключённого третьего или, если угодно к закону достаточного основания, понятому, однако, лишь как совокупность трёх упомянутых аналитических логических законов мышления).

В ответ на это заметим, что и система геометрии Гильберта содержит в себе движение мысли, имеющее характер синтетической необходимости следования. В самом деле, всякое умозаключение, даже силлогизм модуса Barbara, содержит в выводе новый элемент, хотя бы только новую в сравнении с посылками связь (напр., всякое S есть М всякое М есть Р, следовательно, всякое S есть Р; знание связи S с М и М с Р есть достаточное основание для утверждения в выводе третьей связи, отличной от двух первых, именно связи S с Р). Следовательно, всякое умозаключение, даже и силлогизм модуса Barbara, есть синтетическая система: переход от посылок к выводу есть синтетическая необходимость следования, не объяснимая ссылкою только на законы тожества, противоречия и исключённого третьего [CCLXXXVI].