Далекое будущее Вселенной

Во–вторых, состояние, определяемое алгеброй фон Неймана, можно рассматривать как обобщенную вероятность (обобщенную по отношению к вероятности, с которой мы встречаемся при стандартном вычислении вероятностей; строго говоря, это обобщенная мера вероятности). По определению, состояние — это функционал на алгебре фон Неймана, положительный и нормированный к единице точно так же, как всякая мера вероятности. В контексте некоммутативной геометрии вообще невозможно говорить о вероятности отдельных событий, и отсутствие времени в обычном смысле не позволяет связывать с вероятностью чувство «неопределенного ожидания». Тот, кто любит воображаемые картины, может представить себе эту обобщенную вероятность как «поле глобальных возможностей», обладающее, однако, определенной степенью реальности.

Как видим, алгебры фон Неймана являются одновременно «динамическими объектами» и «вероятностными объектами». В некоммутативном режиме любая динамика вероятностна, а у каждой вероятности есть динамический аспект. Только после прохождения планковского порога динамика и вероятность расщепляются и становятся независимыми понятиями. Квантовую механику можно рассматривать как промежуточную ступень, на которой еще сохраняется определенная связь между динамикой и вероятностью. Хорошо известно, что динамическое уравнение квантовой механики (уравнение Шредингера) описывает эволюцию вероятностей: в каждый момент времени возможны различные результаты измерений (данной измеримой величины), каждое со строго определенной вероятностью. Однако в момент измерения это «поле возможностей» схлопывается в единственное значение — то самое, которое мы получаем в результате измерения. Этот эффект, широко обсуждаемый в квантовой механике, известен под именем коллапса волновой функции (или редукции вектора состояния). До сих пор с удовлетворительным объяснением этого эффекта имеются серьезные трудности; однако в рамках некоммутативной модели оно дается очень легко [15].

Но что же у нас со временем? Как оно возникает за пределами некоммутативной эры? Математика решает эту проблему очень красиво. Если с помощью определенного отношения эквивалентности мы склеим некоторые элементы первоначальной алгебры А, то картина становится грубее: она выглядит так, как будто в дело вступают некие усредняющие процессы, и в результате различные «параметры t» сливаются воедино и делаются независимыми от состояния. Так рождается известное нам время [11].

5.5. История начала и конца

Начало и конец Вселенной в классической космологии (то есть не принимающей во внимание эффекты квантовой гравитации) известны под техническими наименованиями начальной и конечной сингулярностей. Доказано несколько важных теорем, утверждающих, что эти сингулярности неизбежны при самых общих условиях, которым, как предполагается, удовлетворяет любая неквантовая вселенная [6]. Но что, если мы все‑таки примем во внимание эффекты квантовой гравитации? Хотя широко распространено мнение, что будущая теория квантовой гравитации (или какая‑либо иная конечная теория) избавит нас от сингулярностей, существует несколько работающих моделей, свидетельствующих об обратном. Во всяком случае, здесь возможно и «да», и «нет».

Точное математическое описание сингулярностей представляет собой сложную проблему. Тот факт, что некоторые физические величины (такие, как плотность материи и кривизна пространства–времени) при приближении к сингулярности уходят в бесконечность, заставляет нас рассматривать сингулярности не как размещенные в пространстве–времени, но, скорее, как своего рода границы пространства–времени, и если мы пытаемся распространить на эти «сингулярные границы» стандартные геометрические методы — эти методы не работают. Это — безошибочный знак того, что стандартные методы нуждаются в обобщении. Если так, почему бы не испробовать новые методы некоммутативной геометрии? И что же — оказывается, они действительно работают!

К немалому нашему удивлению, все виды сингулярности (даже сильнейшие), возникающие в общей теории относительности, поддаются анализу в терминах некоммутативной геометрии [10, 13]. Более того, этот анализ помогает нам понять, как сингулярности возникают[36]. Как мы уже знаем, на уровне некоммутативной геометрии понятие локализации в принципе бессмысленно, однако до некоторой степени может быть заменено понятием состояния. Показано, что в некоммутативном режиме нет разницы между сингулярным и несингулярным состояниями: все состояния существуют на равных. Однако, если мы перейдем от некоммутативного описания Вселенной к обычному коммутативному описанию, возникает обычное пространство–время со своими четко локализованными событиями, а некоторые состояния превращаются в сингулярности.