Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Мы знаем теперь, что их существует много, мы узнаем их, когда встречаем, но что они такое? Что есть числа? У греков был ограниченный взгляд на числа, поэтому, возможно, геометрия давалась им лучше, чем арифметика. Их символические обозначения не работали: у них были прекрасные символические обозначения для элементарной геометрии — прямая линия и круг, нарисованные на плоскости, — но их понятия о цифрах были неуклюжими. Конечно, они не считали 0 и 1 числами, так как содержанием понятия «число» у них была скорее «многочисленность»: чем многочисленнее, тем и число больше. Как отсутствие вещи, так и одна вещь, не обладают многочисленностью, поэтому они не есть числа.

Современное понятие числа появилось, когда в конце девятнадцатого века первоначально Кантор, а затем, во всей полноте строгости, Фреге и Пеано создали теорию множеств. Итальянец Джузеппе Пеано (1858-1932) был доктором Касабоном математики, так как, подобно доктору Касабону, предпринявшему попытку написать историю всех религий мира, Пеано потратил свои зрелые годы, с 1892 по 1908 гг., на составление своего Formulario mathematico, собрания всех известных теорем из всех областей математики. Очаровательно непрактичный Пеано полагал, что Formularioстанет неоценимым благодеянием для лекторов, которым достаточно будет просто провозгласить на лекции номер теоремы, вместо того чтобы обременять себя ее утомительным изложением. Чтобы поощрить международное использование своего труда, Пеано опубликовал его на «Latino sine flexione», изобретенном им якобы интернациональном языке, основанном на латыни и освобожденном от скучной грамматики, но со словарем, в который входили слова из латыни, немецкого, английского и французского языков. Пеано, имевший, по всей видимости, недостаточную способность суждения о принятых в повседневной жизни хороших манерах, хотя в остальном человек мягкий и обходительный, обладал искусством терять друзей с помощью настойчивых упражнений в одном из наиболее впечатляющих своих талантов, способности быть неумолимо логичным. Он использовал свой талант, чтобы подсекать потенциальных друзей, если их аргументы не были вполне строгими; но он воспользовался им и для доброго дела, сформулировав основания математической логики. Даже молодой Бертран Рассел был впечатлен точностью Пеано и мощью сопровождавшей ее аргументации, когда они встретились в 1900 г., и, когда Рассел приступил к своему собственному формулированию оснований математики, он воспользовался видоизмененными обозначениями Пеано.

Пеано, по некоторым непостижимым, но, возможно, обаятельно романтическим причинам, опубликовал свои аксиомы на латыни. Он определил арифметику следующими постулатами:

1. 0 есть число.

2. Элемент, непосредственно следующий за числом, есть также число.

3. 0 не является элементом, непосредственно следующим за каким-либо числом.

4.Никакие два числа не имеют одного и того же следующего за ними элемента.

5.Любое свойство, которым обладают 0 и каждый элемент, непосредственно следующий за числом, есть также свойство, которым обладают все числа.

Последняя аксиома есть принцип математической индукции. Если мы обозначим операцию «непосредственно следующий за» символом s, то получаем возможность определить 1 как s0(элемент, непосредственно следующий за 0), 2 как ss0(элемент, непосредственно следующий за элементом, непосредственно следующим за 0), 3 как sss0и так далее. У этого подхода, однако, существует та проблема, что Пеано оставил без определения некоторых из своих терминов, такие, как «непосредственно следующий за» и, конечно, «число», так что мы все еще не знаем, чем являютсячисла.