Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Вряд ли ученый [51]может столкнуться с чем-нибудь более нежелательным, чем необходимость сдаться как раз тогда, когда работа закончена. Именно в такое состояние повергло меня письмо мистера Бертрана Рассела, когда работа вот-вот должна была отправиться в печать.

Бертран Рассел (1872-1970) указал Фреге на проблему расширения свойства «не принадлежать самому себе». Предположим, мы рассматриваем множество, состоящее из множеств, которые не являются элементами самих себя. Например, множество, состоящее из «абстрактных идей», является элементом самого себя, поскольку такое множество само является абстрактной идеей, в то время как множество, состоящее из «фруктов», не является элементом самого себя, поскольку само это множество не есть фрукт. Рассел спросил, принадлежит ли самому себе множество всех множеств, не принадлежащих самим себе? Если оно принадлежит самому себе, то оно относится к множествам, не принадлежащим самим себе. Если оно не принадлежит самому себе, то оно относится к множествам, принадлежащим самим себе. Короче говоря, если оно да, то оно нет, а если оно нет, то оно да. Антиномию(противоречие, парадокс) Расселамногократно выражали в более повседневных разговорных терминах, таких как «брадобрей в этом городке бреет всех мужчин, которые не бреются сами: бреет ли брадобрей себя?».

Антиномия Рассела подорвала программу Фреге, а вместе с ней и основания математики. Причина коррозионного действия противоречия состоит в том, что в логике справедлива теорема: если система аксиом теории приводит к противоречию, то любые предложения, которые можно сформулировать в теории, являются ее доказуемыми теоремами. Поэтому, если определения Фреге приводят к противоречию, то из них можно вывести какую угодно теорему, включая «1 = 2» и «2 есть рациональное число». Следовательно, в качестве оснований арифметики его аксиомы хуже, чем ничего.

Рассел так же глубоко, как и Фреге, был озабочен основаниями математики и в равной мере проявлял интерес к попыткам продемонстрировать, что математика является не более чем ветвью логики. Такова точка зрения логицистической школыфилософии математики. В 1903 г. Рассел публикует свои The principles of mathematics, а его бывший экзаменатор, а теперь коллега по Кембриджу, Альфред Норт Уайтхед (1861-1947), готовит второе издание A treatise on universal algebra. Оба они пришли к соглашению о сотрудничестве в более амбициозном проекте, заключающемся в доказательстве того, что математика в целом есть подмножество логики. Работа, на подготовку которой они потратили десятилетие, в конце концов появилась в виде трех томов Principia mathematicaв 1910, 1912 и 1913 гг. Запланированный четвертый том о геометрии так никогда и не появился. В Principiaиспользовалась тщательно разработанная система обозначений, дающая больше возможностей, чем системы Пеано и Фреге; некоторое представление о ее изощренности можно получить из рис. 10.8, представляющего собой проделанное Расселом и Уайтхедом доказательство того, что 1 + 1 = 2.

и много позже

Рис. 10.8.Факсимиле доказательства того, что 1 + 1 = 2, из Principia mathematica.

Расселу и Уайтхеду было необходимо обойти трясину противоречий, которая засосала Фреге. Чтобы достичь этого, Рассел ввел свою теорию типов, в которой элементам множеств присваивается «тип», и каждое множество может содержать элементы только низшего типа. Так, единичные объекты имеют тип 0, утверждения о множествах этих единичных объектов имеют тип 1, и так далее. Поскольку множество может содержать лишь множества низшего типа, оно никогда не может стать элементом самого себя, так что антиномии Рассела удастся избежать. Однако теория типов все еще недостаточно сильна для того, чтобы устранить некоторые парадоксы, такие как «парадокс Берри», предложение из десяти слов: «наименьшее из целых чисел, определяемых не менее чем одиннадцатью словами». Целое число, удовлетворяющее этому требованию, на самом деле определено предложением из десяти слов, поэтому данное предложение противоречиво. Чтобы избежать опасностей также и этого болота, Рассел был вынужден проложить гать из нового варианта теории типов, который он назвал разветвленной теорией типов. В разветвленной теории обозначения присваивались не только типам рассматриваемых объектов, но также и способам их определения. Principia mathematicaоснованы на разветвленной теории типов.