Диалектический материализм

Такие сочинения, как «Теория физики» П. Дюгема [Р. Duhem, La theorie phisique, son objet et sa structure, Paris 1906.] или «Понятия и теории современной физики» Сталло [J. B. Stallo, The Concepts and Theories of Modern Physics, Lond. 1882, Есть французский и немецкий переводы.], которые особенно рекомендует Мах, показывают чрезвычайно наглядно, что всего больше значения придают эти «физические» идеалисты именно доказательству относительности наших знаний, колеблясь, в сущности, между идеализмом и диалектическим материализмом. Оба автора, принадлежащие к различным эпохам и подходящие к вопросу с различных точек зрения (Дюгем — физик по специальности, 20 лет работавший в этой области; Сталло — бывший правоверный гегельянец, стыдящийся выпущенной им в 1848 г. натурфилософии в старогегелевском духе), воюют всего энергичнее с атомистически-механическим пониманием природы. Они доказывают ограниченность такого понимания, невозможность признать его пределом наших знаний, закостенелость многих понятий у писателей, держащихся этого понимания. И такой недостаток старого материализма несомненен; непонимание относительности всех научных теорий, незнание диалектики, преувеличение механической точки зрения, — за это упрекал прежних материалистов Энгельс. Но Энгельс сумел (в отличие от Сталло) выбросить гегелевский идеализм и понять гениально-истинное зерно гегелевской диалектики. Энгельс отказался от старого, метафизического материализма в пользу диалектического материализма, а не в пользу релятивизма, скатывающегося в субъективизм. «Механическая теория, — говорит, напр., Сталло, — вместе со всеми метафизическими теориями гипостазирует частные, идеальные и, может быть, чисто условные группы атрибутов или отдельные атрибуты и трактует их, как разные виды объективной реальности» (р. 150). Это верно, если вы не отрекаетесь от признания объективной реальности и воюете с метафизикой, как антидиалектикой. Сталло не дает себе ясного отчета в этом. Материалистической диалектики он не понял и поэтому часто катится через релятивизм к субъективизму и идеализму. (Ленин, Материализм и эмпириокритицизм, Соч., т. XIII, стр. 253 — 254, изд. 3-е.)

Диалектика в математике

Единица. Ничто не кажется проще, чем количественная единица, и ничего нет многообразнее, чем последняя, лишь только мы начнем изучать ее в связи с соответственным множеством, с точки зрения различных способов происхождения ее из последнего. Единица — это, во-первых, основное число всей системы положительных и отрицательных чисел, благодаря последовательному прибавлению которого к самому себе возникают все другие числа. Единица есть выражение всех положительных, отрицательных и дробных степеней единицы:  все равны единице. Единица есть значение всех дробей, у которых числитель и знаменатель равны. Она — выражение всякого числа, возведенного в степень нуль, и поэтому она единственное число, логарифм которого во всех системах один и тот же, именно = 0. Таким образом, единица есть граница, делящая на две части все возможные системы логарифмов: если основание больше единицы, то логарифмы всех чисел, больших единицы, положительны; всех чисел, меньших единицы, отрицательны; если основание меньше единицы, то дело происходит наоборот. Таким образом, если каждое число содержит в себе единство, поскольку оно состоит из одних лишь приданных друг к другу единиц, то единица, в свою очередь, содержит в себе все другие числа. Не только потенциально, поскольку мы можем построить любое число из одних единиц, но и реально, поскольку единица является определенной степенью любого другого числа. Но те же математики, которые непринужденнейшим образом вводят, где это им нужно, в свои выкладки x⁰ = 1 или же дробь, числитель и знаменатель которой равны и которая тоже, значит, представляет единицу, — математики, которые, следовательно, применяют математическим образом содержащееся в единстве множество, морщат нос и строят гримасы, когда им говорят общим образом, что единство и множество являются нераздельными, проникающими друг друга понятиями и что множество так же содержится в единстве, как и единство в множестве. Насколько это верно, легко заметить, лишь только мы покинем область чистых чисел. Уже при измерении длин, площадей и объемов обнаруживается, что мы можем принять за единицу любую величину соответствующего рода, то же самое относится к измерению времени, веса <теплоты>, движения и т. д. Для измерения клеток миллиметры и миллиграммы слишком велики, для измерения солнечных расстояний или скорости света километр крайне мал. Точно так же крайне мал килограмм для измерения масс планет, а тем более солнца. Здесь воочию видно, какое многообразие и множество содержится в столь простом на первый взгляд понятии единицы. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 117, 1932 г.)