Диалектический материализм

. Отрицательные величины алгебры реальны лишь постольку, поскольку они относятся к положительным величинам, реальны лишь в своих отношениях к последним; взятые вне этого отношения, сами по себе, они мнимы. В тригонометрии и аналитической геометрии, вместе с построенными на них отраслями высшей математики, они выражают определенное направление движения, противоположное положительному направлению. Но можно с одинаковым успехом отсчитывать синусы и тангенсы как в первом, так и в четвертом квадратах и значит можно обратить плюс в минус. Точно так же в аналитической геометрии можно отсчитывать абсциссы в круге, либо начиная с периферии, либо начиная с центра и вообще у всех кривых в направлении, обозначаемом обыкновенно минусом, и при этом мы получаем правильное рациональное уравнение кривой. Здесь + существует только как дополнение -, и обратно. Но алгебра в своих абстракциях рассматривает их как действительные, самостоятельные величины, без отношения к какой-нибудь большей, положительной величине. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 111, 1932 г.)

Математическое изображение процессов

Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изобразить математически процессы, а не только состояния, движение. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 113, 1932 г.)

Разложение бинома на бесконечный ряд

Математика. Здравому человеческому смыслу кажется нелепостью разложить некоторую определенную величину, например бином, на бесконечный ряд, т. е. на нечто неопределенное; но далеко ли ушли бы мы без бесконечных рядов или без теоремы о биноме? (Энгельс, Диалектика природы, стр. 48, 1932 г.)

Развитие тригонометрии

Тригонометрия. После того как синтетическая геометрия рассмотрела свойства треугольника в себе и до конца исчерпала их, открывается более широкий горизонт, т. е. очень простой, вполне диалектический способ. Треугольник рассматривается уже не в себе и для себя, а в связи с некоторой другой фигурой, кругом. Каждый прямоугольный треугольник можно рассматривать как принадлежность некоторого круга: если гипотенуза =r, то катеты это sin и cos; если один катет = r, то другой катет = tg, а гипотенуза = sec.

Благодаря этому стороны и угол приобретают совершенно иные определенные взаимоотношения, которых нельзя было бы открыть и использовать без этого отнесения треугольника к кругу, и развивается совершенно новая, далеко превосходящая старую, теория треугольника, которая применима повсюду, ибо всякий треугольник можно разбить на два прямоугольных треугольника. Это развитие тригонометрии из синтетической геометрии является хорошим образчиком того, как диалектика рассматривает вещи в их связи, а не изолированно. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 121, 1932 г.)

Пример закона падения подтверждает изменчивость отношений в природе

Пример необходимости диалектического мышления и не неизменных категорий и отношений в природе: закон падения, который становится неверным уже при продолжительности падения в несколько минут, ибо в этом случае нельзя без чувствительной погрешности принимать, что радиус земли = , и притяжение земли возрастает, вместо того чтобы оставаться равным самому себе, как предполагает закон падения Галилея. Тем не менее этот закон продолжают преподавать без соответственных оговорок. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 25, 1932 г.)

Связь категорий обосновывается переменой форм материи

Если Гегель рассматривает силу и проявление, причину и действие как тожественные, то это доказывается переменой форм материи, где равноценность их доказана математически. В мире уже заранее признано: сила измеряется проявлением ее, причина — действием. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 111 — 112, 1932 г.)

Неразрывность притяжения и отталкивания