«Друзья мне подсказывали: «Чудной ты человек! Кто так делает? Пойди к начальнику телефонного узла. Пригласи его в гости. Выпей с ним. И попроси о телефоне. Тогда уж он не отвертится!» Я навел справки. Узнал, что начальник телефонного узла очень любит цыганское пение. Тогда же в телефоне очень нуждались мои приятельницы по «Современнику»: Таня Лаврова и Наташа Карташова. Позвал я их тоже в гости. Они мне говорят: «Мы сами все приготовим, а ты обеспечь выпивку». Пригласил я к себе цыган, собрались у меня, устроили вечеринку с угощением. И вдруг, в самом начале застолья, слышу, как Таня и Наташа уже выпрашивают телефон у этого начальника АТС. Я тут так застеснялся — передать не могу. И неожиданно для себя самого буркнул: «А мне телефон не нужен. Я вас всех не для того сюда позвал…» Тут начальник узла усмехнулся и сказал спокойно: «Ну, так у вас и не будет телефона!» И не было у меня телефона. А им поставили…»
Году в 68-м Козаков наконец перестал холостяковать и женился на женщине с красивым именем Медея (она была грузинкой). В этом браке у него родилась дочь Манана. Стоит отметить, что первая жена Козакова тоже недолго горевала в одиночестве и вскоре вышла замуж.
В творческом отношении середина 60-х один из самых удачных периодов в жизни Козакова. Он тогда сыграл сразу несколько интересных ролей на сцене «Современника» (в «Двое на качелях», «Сирано де Бержераке», «Все на продажу», «Обыкновенной истории»), снимался в кино, занимался режиссурой на телевидении (снял телеспектакли: «О; время, погоди!», «Удар рога»), В 1967 году вместе с группой «современниковцев» Козаков был удостоен Государственной премии СССР (за спектакль «Большевики», в котором Козаков сыграл Стеклова-Нахамкеса. Кстати, эту свою работу сам Козаков не любит). Однако дни пребывания Козакова в «Современнике» были уже сочтены.
В 1969 году его пригласили на роль Джека Вердена в трехсерийной экранизации «Вся королевская рать». Козаков загорелся желанием сыграть эту роль и обратился в творческий Совет театра «Современник» с просьбой предоставить ему отпуск на год. Совет был готов пойти ему навстречу, однако главреж Олег Ефремов внезапно поставил вопрос ребром: или театр, или кино. Козаков, подумав, выбрал последнее. А на его роли в «Современнике» ввели других актеров: Валентина Гафта (в «Обыкновенной истории» и «Большевиках»), Андрея Мягкова (во «Все на продажу»).
Через год, закончив сниматься в «Королевской рати», Козаков решил вернуться в «Современник». Однако в том году Ефремов получил предложение возглавить МХАТ и увел туда часть «современниковцев»: Александра Калягина, Виктора Сергачева, Владимира Салюка и др. К этой группе примкнул и K°заков. Но пребывание во МХАТе ничего, кроме огорчений, ему не принесло. Он собирался ставить «Медную бабушку» по пьесе Л. Зорина с Роланом Быковым в роли А. Пушкина, однако высокая комиссия в лице патриархов театра и Минкульта наложила на выпуск спектакля запрет. Им казалось кощунственным, что гения российской поэзии будет играть «комик и урод» Быков. После этого собрания Козаков принял окончательное решение покинуть МХАТ. Было это в 1972 году. Его следующим пристанищем стал театр на Малой Бронной во главе с Анатолием Эфросом.
Не менее бурно складывалась в начале 70-х и личная жизнь Козакова. После нескольких лет супружества со второй женой Козаков ушел из семьи и некоторое время находился в свободном поиске. Году в 70-м ему очень приглянулась актриса Театра на Таганке Татьяна Иваненко, однако на одном из совместных застолий кто-то из коллег предупредил его, что она «женщина Высоцкого» (в конце 60-х Иваненко родила Высоцкому дочь). И Козаков тут же отстал. А спустя примерно год он женился в третий раз, и вновь на женщине с очень редким именем — Регина (она была полуеврейкой-полутатаркой). И хотя в этом браке детей они не нажили, однако прожили вместе более семнадцати лет. Стоит отметить, что со всеми своими предыдущими женами Козаков поддерживал вполне добропорядочные отношения, а детям регулярно платил алименты. В те годы он зарабатывал в месяц порядка 700 рублей, что было достаточно приличной суммой.
В октябре 1974 года Козаков вопреки всем приметам справил свое сорокалетие. Актер вспоминает: «Регина уговорила меня: «Давай устроим что-нибудь неординарное». И мы сняли фабрику-кухню, где и организовали костюмированный прием. Пришло много моих друзей: Миша Ульянов, Булат Окуджава, Шурка Ширвиндт, Олег Табаков. Ульянов оделся арабом, Регина звездочетом, а я был юным пионером с барабаном на шее. Ширвиндт, который вырядился Арафатом, сказал: «Вот Козаков умудрился устраивать свое сорокалетие на заводе Михельсона, где Каплан стреляла в Ленина». Этот день рождения я запомнил на всю жизнь. Такое и должно быть раз в жизни…»