Дважды два = икс?

– Как сделать так, чтобы в тетрадке или на доске было видно, что две кружки равны по объёму?

– Надо написать, что они равны по объёму.

Такое предложение остальных детей не устраивает.

– Писать долго. Надо договориться…

– Что значит договориться?

– Значок какой-нибудь поставить…

– Какой?

– Я предлагаю точку…

– А я палочку…

– Есть такой уже значок, люди давно придумали. Две одинаковые палочки. – Учительница нарисовала знак равенства.

– Какое предложение лучше?

– Две палочки лучше.

– Почему?

– Сразу видно… Два предмета одинаковые и две палочки одинаковые.

– А если один предмет больше другого?

– Тогда нужен другой значок.

И снова дети предлагают свои варианты. Знаки «больше» или «меньше», принятые в математике, удовлетворяют всех.

– Очень хороший значок, – заявляет малыш, – как будто большая кружка подталкивает маленькую. Сразу видно, что больше, а что меньше.

Урок заканчивается, и ватага ребят шумно вырывается в коридор. Но у нас, естественно, много вопросов. Задаём первый из них: «Куда вы их ведёте всеми этими сравнениями, значками?» Учительница не спешит с ответом, она убирает наглядные пособия в шкаф. «Я думаю, наш разговор лучше вести через месяц. Приходите – сами всё поймёте».

Как раздражает нас иногда невозможность получить ответ немедленно, приглашение прийти «завтра». Но здесь не дают готовых ответов (это мы уже поняли), дети сами их находят. Тем более взрослым следует самим разобраться, понять, куда и зачем ведут их детей. И когда мы приходим через месяц-другой, становится очевидным направление пути.

На доске и в тетради уже нет кружек, яблок, машин. Их сменили буквы и линии-отрезки. Дети сами пришли к необходимости облегчить себе работу, сами предложили обозначить размеры и признаки предметов буквами. И если сначала они учились неравные предметы превращать в равные, и наоборот, так сказать, собственными руками: с помощью переливания из одной кружки в другую, то сейчас они просто пишут: А+В=С.

Первая формула их практической работы, обобщение результатов исследования реальных физических величин. В ней отображены не просто какие-то одинаковые стороны предметов, а определённые отношения – количественные. Прописными буквами они договорились обозначать целые предметы, строчными – те маленькие кусочки, которые надо к ним добавлять или отнимать.

– Прибавить кусочек, отнять кусочек…

Теперь такой разговор для них уже несерьёзен.

– От А я отнимаю В, – говорит малыш, – и получаю С.

Можно записать всё это и по-другому, графически. Например, с помощью отрезков.

А вот уже появился на доске и пресловутый алгебраический значок «икс», что означает, естественно, неизвестную величину.

– Сравните эти две величины и поставьте знак, – просит учительница. И ребёнок осознанно пишет уравнение: А+Х=В. Он уравнял величины А и В путём прибавления неизвестной величины к двум известным.

– А если их переставить местами?

– Ничего не изменится…

В чём функция икса в уравнении? Он завязывает две величины в один узел, держит их, пока разберутся, что к чему. Вот только икс не согласен всегда так их держать, а только временно, пока подберут ему достойную замену – величину, способную удерживать в равновесии всю систему.

(Мальчику Эйнштейну его дядя Якоб как-то сказал, что икс – это зверь, которого надо поймать и посадить в сумку.)

Итак, обобщённая формула – не просто формула, изображающая отношение двух величин. Это модель, которая не нуждается в том, чтобы её положили на полку памяти. С ней можно работать: узнавать основные свойства величины – обратимость, монотонность. Ребёнок анализирует отношения величин, переходит от неравенства к равенству, и наоборот. Величины – не статуэтки на пьедестале, они всё время меняются в ту или другую сторону. И чтобы их остановить, зафиксировать уровень, у ребёнка всегда есть удивительный помощник, который как бы подгоняет величины одну к другой, – уравнение.

И нам внезапно становится ясен замысел эксперимента: начать с того, чтобы показать, что между абстрактным математическим миром и конкретным миром, близким и понятным ребёнку, есть связь. Эта связь не случайна, она осмысленна, ребёнок сам её устанавливает.

Для него нет голых математических абстракций, есть необходимость отвлечения от предметного мира, не замена его, а обобщение. Понятие величины, которую ребёнок измерил, есть живая абстракция, показавшая ему, что за теорией стоит движение материальной действительности.

Эту практичность теории сразу же схватывают малыши. Теория здесь вообще поначалу не отделена от практики, точно так же, как она была вплетена в неё на заре человечества. Впрочем, до подлинной математической теории числа ещё далеко, но здесь её начало, живое, деятельное, не привнесённое извне умными учебниками, а созданное собственным умом ребёнка. Пока он не пришёл к понятию числа, не пропустил его через себя, свои чувства, не выделил его в своём сознании как закономерный объект деятельности, не обследовал его своей мыслью, нельзя идти вперёд.