Дважды два = икс?

Поэтому так долго, не день, не два, а месяцы занимаются дети как будто далёкими от обычной школьной математики вещами. Но они занимаются важнейшими с точки зрения формирования математического мышления делом: дети овладевают собственными действиями, с помощью которых обнаруживают параметры в вещах, имеющих характер величин (длин, объёмов, высот и т. п.).

Овладение собственным действием! Разве им нужно овладевать? Оказывается, необходимо, чтобы действие это было именно твоим, а не чужим. Вначале он осторожно пробует его совершить: а вдруг не получится. Получилось, но, может, это случайность, нужно повторить. И снова удача. Тогда стоит обследовать каждый сделанный тобой шаг, чтобы осознать весь процесс движения, чтобы ничего не пропустить, сориентироваться. Ещё проверка при полной ориентировке, и снова – да, всё правильно, можно действие взять на вооружение. Отработать его так, чтобы довести до уровня автоматизма, сначала всё быстрее «работая» с реальными предметами, а потом и с воображаемыми. И тогда в один прекрасный день твоё действие становится актом мысли, не осознаваемым в тот момент, когда оно совершается. И совершается оно как будто само собой, как будто он и родился с умением умножать, делить…

Процесс овладения собственными действиями, превращения их в действие мысли, который мы сейчас в очень упрощённом виде описали, и составляет сущность гальперинской теории планомерного формирования умственных действий, с помощью которой может быть зримо представлен процесс усвоения знаний.

На первых уроках математики как раз и формируется действие измерения величин, чтобы впоследствии можно было выйти с его помощью на понятие числа. В ходе его формирования дети находят способ выражения сравниваемых и найденных параметров между собой – ёмкий, простой и лёгкий, с помощью специальных значков, математических символов. Они приходят в самом начале своего пути к алгебраическому уравнению, минуя долгий, сложный, непонятный и запутанный мир арифметических действий (помните, задачи со знаменитыми бассейнами, из которых вода выливается уже по меньшей мере два-три века?).

И- если первокласснику задают конкретную задачу («во дворе играют 15 детей, из них 4 – в прятки, 5 – в снежки, а остальные лепят снежную бабу. Спрашивается: сколько детей лепят бабу?»), то он, решая её, овладевает сложной, но для него необходимой системой математических действий.

Он моделирует ситуацию задачи в схеме, которая выглядит примерно так:

Составление схемы – средство анализа задачи, оно организует поиск решения. Не проба, а целостное разумное действие.

От исходной модели он переходит непосредственно к схеме решения:

Впрочем, выясняется, что схему можно составить и по-другому. Например, так:

От схемы уже совсем легко перейти к уравнению: 4+5+Х=15, решив которое, ребёнок устанавливает, что снежную бабу лепили 6 детей.

Многоступенчатость решения – необходимый этап процесса постепенного сокращения действий, превращение их в мыслительные операции. И когда через некоторое время ребёнок мгновенно составляет уравнение в буквенном виде, то это не просто натасканный приём, который применяют некоторые грамотные родители, обучающие своих детей алгебре как наиболее простому способу решения конкретных задач, а осознанное умение выделить математические абстракции и оперировать с ними. Теперь можно приступать к самому главному, основному, что позволяет детям найти ключ к науке математике, – к понятию числа. Его введение подготовлено всем предшествующим обучением. У ребёнка есть понятие величины, он уже «наработался» с разными величинами, с их отношениями, изучил их свойства.

И вот в один прекрасный день перед ним ставится простая задача, которую он уже многократно решал: выбрать из деревянных планок, находящихся в коридоре, равную образцу в классной комнате. Но когда ребёнок бросается выполнять задание, учитель его неожиданно останавливает.

– Петя, я забыл тебя предупредить: по условию задачи образец с собой в коридор брать нельзя. Как быть?

Ребёнок в недоумении застывает, и точно так же недоумённо смотрит на учителя весь класс.

Дети поставлены в ситуацию, которую, оказывается, нельзя решить известными им способами прямого сравнения величин. Нужен новый неизвестный способ. Дети думают, и вот вскоре появляется догадка:

– Надо измерить чем-нибудь образец…

– Чем?

– Например, тетрадкой… А потом той же тетрадкой измерить деревянную планку в коридоре.

Хитрый приём – ввести величину-посредницу.

– Хитрецы! – говорит учитель.

Дети довольны, они нашли выход.

Так они начинают «хитрить» в процессе обучения. Но это не та хитрость, которая сродни обману других или себя самого. Это хитрость научного метода, с помощью которого обнаруживаются новые действительные связи и отношения между явлениями и предметами.