Эйлер. Математический анализ

Научная жизнь Лежандра (1752- 1833) началась под счастливой звездой. Он обладал выдающимися интеллектуальными способностями и достаточным состоянием, чтобы посвятить себя работе, ни на что не отвлекаясь. Успехов в математике Лежандр добился не сразу. Вместе с Лапласом он сделал важные разработки в области астрономии, открыв многочлены, позже названные многочленами Лежандра, зашел на малоизвестную территорию эллиптических функций и теории чисел, в рамках которой ему удалось, как он считал, решить старую задачу о квадратичном законе взаимности. Но в его исследовании были ошибки, как впоследствии установил Карл Фридрих Гаусс. За свои астрономические работы Лежандр был принят в члены Лондонского королевского общества. Он также участвовал в работе комиссии по созданию десятичной метрической системы, входившей в программу всеобщей рационализации, начатой после Французской революции. Хотя Лежандр и разделял многие революционные идеи, в эпоху Террора он был вынужден скрываться и потерял свое состояние. После этого он переписал и издал "Начала" Евклида с точки зрения того времени и современным языком, получив оглушительный и долгий успех у читателей. Придя к власти, Наполеон сразу же взял Лежандра под свою протекцию. Ученый, бывший к тому времени уже известным академиком, занялся изучением движения комет, разработал метод наименьших квадратов для вычисления траекторий, опередив на сей раз Гаусса. К этому же периоду относятся его исследования по распределению простых чисел, которое, как он предположил, подчинялось асимптотическому закону:

Это значение, очень близкое к современному, впоследствии совпало с фундаментальной теоремой о распределении простых чисел. Гаусс здесь оказался первым, но он так и не опубликовал свои результаты.

Приложение

1. ЛОГАРИФМЫ И НЕПЕР

Джон Непер (1550-1617) может по праву считаться изобретателем логарифмов. Он нарисовал две прямые линии следующим образом: на первой отложил отрезок с концами А и В, а параллельно ему провел прямую из точки А'. Затем он предположил, что есть некое тело, которое скользит по бесконечной прямой с постоянной скоростью. В каждой точке X' на прямой он отмечал соответствующую точку на отрезке АВ, но не случайным образом: X двигался со скоростью, равной расстоянию ХВ. Взяв х = ВХ и у = А'Х', Непер создал свой логарифм:

у - logx.

Непер взял AB - 10⁷, что привело его к довольно сложным алгебраическим равенствам. Если N — число, a L — логарифм, то Непер вычислил N = 10⁷ (1-10^-7)^L. Мы получаем

Здесь уже появляется постоянная е, так как

(1 - 10-⁷)10^{7 ≈} 1/e.

Во многих старинных трактатах говорится о логарифмах Непера, или натуральных. Здесь мы имеем дело с путаницей, потому что натуральные логарифмы — это логарифмы по основанию е, в то время как все (почти) логарифмы Непера имеют основание 1/е. Это почти одно и то же, они различаются лишь знаком, а не абсолютным значением:

log_eN = -log_1/eN.

Сегодня для каждого положительного вещественного числа N, когда N - a^L, мы говорим, что L — логарифм N по основанию а, и записываем: L = log_a N.