Энциклопедический словарь юного математика

В республиканских олимпиадах участвуют также несколько победителей заочного конкурса, который проводит журнал «Квант», а также команды некоторых специализированных физико-математических школ-интернатов. Около 150 учеников 8, 9, 10-го классов принимают участие в заключительном туре.

Из числа победителей Всесоюзной олимпиады формируется команда СССР на международную олимпиаду. В ней регулярно участвуют команды более 30 стран. В неофициальном командном первенстве по сумме баллов, числу I, I и III премий, полученных

участниками соревнований, - команда СССР почти всегда занимает одно из первых мест.

Разумеется, подняться на высшие ступеньки математического «олимпийского пьедестала» удается лишь немногим. Этот успех свидетельство не только незаурядных способностей, но и упорства, и умения быстро включаться, настраиваться на новую задачу. Не все бывшие чемпионы олимпиад стали крупными математиками, но можно назвать целый ряд известных и в нашей стране, и за рубежом ученых, чьи первые шаги были отмечены премиями олимпиад. Среди них, например, три советских математика разных поколений, каждый из которых прославился решением одной из «проблем Гильберта», поставленных на рубеже XIX-XX вв., - В. И. Арнольд, Ю. И. Матиясевич, В. М. Харламов.

Однако далеко не все математики в прошлом участники и победители олимпиад. Никак нельзя думать, что неудача на олимпиаде свидетельствует об отсутствии математических способностей. После неудачи нужно, конечно, попробовать получше подготовиться к следующей олимпиаде. Тут есть большой выбор: помимо разных туров Всесоюзной олимпиады в нашей стране проходит и много других математических соревнований школьников: олимпиады, организуемые отдельными вузами, олимпиады в летних физико-математических школах, командные соревнования классов и школ (они регулярно проводятся, например, в Омске), «математические бои». В Ленинграде, где возникли и сохраняются многие традиции математических соревнований, в последние годы сформировалась и традиция проведения олимпиад для учащихся ПТУ. Весной 1985 г. состоялась первая Всесоюзная олимпиада учащихся ПТУ.

Можно посоветовать также решать задачи из олимпиадных сборников. Ведь жюри каждой олимпиады вынуждено не повторять старых задач, хотя среди них можно встретить поистине замечательные произведения. Приведем несколько задач, которые были предложены на олимпиадах школьников в разное время.

Задача. Построить треугольник ABC, если известна сторона AB, радиус r вписанной окружности и радиус r_c вневписанной окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон AC и BC. (Венгрия, 1900 г.)

Решение. Предположим, что искомый треугольник построен, и отметим точки касания T и T_c с прямой AC вписанной и вневписанной окружностей (радиусов r и r_c, соответственно). На нашем рисунке (рис. 1) несколько пар касательных, проведенных к каждой окружности из одной и той же точки; пользуясь тем, что в такой паре длины касательных равны, нетрудно установить, что отрезки AB и TT_c равны по длине. Отсюда вытекает способ построения: отмечаем на прямой две точки T и T_c на расстоянии AB, строим по одну сторону от этой прямой окружности радиусов r и r_c, касающиеся ее в точках T и T_c проводим еще одну внешнюю и одну внутреннюю общую касательную к этим окружностям – и нужный треугольник построен. Задача имеет решение в том и только в том случае, если r r_c ≥ (c/2)².

Рис. 1

Задача. Груз массой 13,5 т упакован в некоторое число «невесомых» ящиков. Масса каждого ящика с грузом не превосходит 350 кг. Докажите, что этот груз можно перевезти на 11 полуторатонках. (Москва, 1956 г., VIII кл., 2-й тур.)

Решение. Докажем, что ящиками не более 350 кг (если их общий вес более 1,2 т) можно набрать вес от 1,2 до 1,5 т. Расположим их по порядку, начиная с самых тяжелых. Если первые четыре весят вместе более 1,2 т – их уже достаточно (вес будет не более 1,4 т); а если нет, то четвертый и последующие весят не более 0,3 т каждый, так что мы можем, нагружая их по порядку, обеспечить «недогруз» не более 0,3 т. Заметим, что оценка 1,2 т здесь точная: пример, когда все ящики весят поровну и чуть больше 300 кг, показывает, что ее нельзя заменить большей.

Теперь уже легко: нагружаем на 10 полуторатонок не менее чем по 1,2 т и – если что-то осталось – сваливаем остаток на 11-ю машину.

Задача. Докажите, что не существует тетраэдра, у которого каждое ребро являлось бы стороной плоского тупого угла. (Москва, 1959 г., IX кл., 1-й тур.)

Решение. Рассмотрим наибольшее по длине ребро: к нему ни в какой грани не может примыкать тупой угол.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ

Математические развлечения – это и решение занимательных задач, и геометрические построения, и разгадывание числовых и механических головоломок, и математические игры и фокусы. Они развивают математические способности, сообразительность, логическое мышление, укрепляют память. Математические развлечения объединяют учение и игру, труд и отдых, но для занятия ими нужны и воля, и упорство, и настойчивость в достижении цели.