Энциклопедический словарь юного математика

В разные времена математики искали формулу, которая при различных значениях входящих в нее переменных давала бы простые числа. Так, Л. Эйлер указал многочлен n² - n + 41, значения которого при n = 0,1,2,...,40 - простые числа. Однако легко доказать, что нет многочлена от одной переменной, который при всех целых ее значениях принимает простые значения. П. Ферма высказал предположение, что все числа вида  простые (при k = 0,1,2,3,4 это числа 3, 5, 17, 257, 65537). Однако Л. Эйлер опроверг это предположение, доказав, что при k = 5 число  составное. Все же известны формулы, принимающие при всех целых значениях переменных простые значения. Так, советский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что существует многочлен от нескольких переменных, который принимает все простые значения по одному разу, причем все положительные его значения - простые числа.

Издавна математиков интересовал вопрос о распределении простых чисел в натуральном ряду.

Рассуждение Евклида, доказывающее бесконечность числа простых чисел в натуральном ряду (см. Евклида алгоритм), применимо и для доказательства бесконечности числа простых чисел некоторого специального вида, например простых чисел вида 4n - 1. Чуть видоизменяя это рассуждение, можно получить доказательство бесконечности количества простых чисел вида 4n + 1, 6n + 1 и некоторых других.

В 1837 г. немецкому математику Л. Дирихле удалось доказать, что в любой арифметической прогрессии, первый член и разность которой взаимно просты, есть бесконечно много простых чисел. В доказательстве Дирихле были использованы новые для теории чисел методы (функции комплексного переменного, ряды), открывшие совершенно новые пути для ее развития. О простых числах более сложного вида известно мало. Так, до сих пор неизвестно, конечно или бесконечно число простых чисел вида n² + 1 или же простых чисел вида 2ⁿ - 1 (эти последние называются простыми числами Мерсенна). Наибольшее из известных простых чисел является простым числом Мерсенна и равно 2¹³²⁰⁴⁹-1.

Вопрос о том, как часто простые числа встречаются в натуральном ряду и как они распределены среди натуральных чисел, оказался очень сложным. Изучение таблиц простых чисел показывает, что в натуральном ряду есть участки, где простые числа располагаются гуще. Есть даже числа, которые находятся совсем близко друг от друга, как, например, 2 и 3, 3 и 5, 191 и 193, 2711 и 2713. Такие пары чисел называются близнецами. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно число пар близнецов. Но есть и сколь угодно длинные отрезки натурального ряда, в которых нет ни одного простого числа. Например, среди последовательных чисел k! + 2, k! + 3, …, k! + k нет ни одного простого.

Важными характеристиками расположения простых чисел в натуральном ряду служат величины: π(n) - число простых чисел, не превосходящих n, и отношение π(n)/n - средняя плотность простых чисел среди первых n натуральных. Изучение таблиц простых чисел показало, что, двигаясь по натуральному ряду, мы будем встречать простые числа в среднем все реже. Эйлер обосновал это наблюдение, доказав, что

.

Отсюда, в частности, следует, что простые числа в среднем располагаются реже, чем члены какой угодно арифметической прогрессии. Можно доказать, что простые числа располагаются все же гуще квадратов натуральных чисел.

Но все эти результаты очень мало говорят о самом числе π(n). Математикам хотелось получить для π(n) какую-нибудь достаточно простую приближенную формулу. Первая гипотеза о величине π(n) была сделана независимо французским математиком А. Лежандром и К. Гауссом около 1800 г. Она заключалась в том, что π(n) ≈ n/ln n. Однако доказать это утверждение удалось лишь 100 лет спустя.

Большой вклад в разработку этого доказательства внес П. Л. Чебышев, а окончательный результат был получен в 1896 г. французским математиком Ж. Адамаром и бельгийским математиком Ш. Валле-Пуссеном. Кроме того, в 1852 г. Чебышев доказал предположение французского математика Ж. Бертрана о том, что для любого натурального числа n между числами n и 2n всегда есть простое число.

ПРОЦЕНТ

Процентом называется сотая доля числа. Для чего нужны проценты и почему для этого введен специальный термин?

Прежде чем ответить на эти вопросы, попробуем ответить на другой: много ли соли в морской воде? Конечно, можно налить в ведро морскую воду, поставить его на огонь и, подождав, пока вся вода испарится, собрать и взвесить оставшуюся соль. Можно ли утверждать, что у другого человека получится столько же? Видимо, нет. Его ведро может оказаться больше или меньше, оно может быть налито более или менее полно; в результате получится другое количество соли. Таким образом, наша мера солености морской воды (количество граммов соли на ведро воды) оказалась неудачной.