Энциклопедический словарь юного математика

Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

Древнегреческие ученые разработали «тригонометрию хорд», изложенную выдающимся астрономом Птолемеем (II в.) в его работе «Альмагест». Птолемей вывел соотношения между хордами в круге (выражавшиеся словесно ввиду отсутствия в то время математической символики), которые равносильны современным формулам для синуса половинного и двойного угла, суммы и разности двух углов:

, sin 2α = 2 sin α cos α, sin (α±β) = sin α cosβ ± sin β cos α.

Важный шаг в развитии тригонометрии был сделан индийскими учеными, которые заменили хорды синусами. Это нововведение перешло в VIII в. в арабоязычную математику стран Ближнего и Среднего Востока, где тригонометрия постепенно превратилась из раздела астрономии в самостоятельную математическую дисциплину. Помимо синуса были введены и другие тригонометрические функции, и для них были составлены таблицы.

Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функций сформировались в процессе долгого исторического развития. Если, например, при введении основных тригонометрических понятий представляется естественным принимать радиус тригонометрического круга (рис. 1) равным единице, то эта, казалось бы, простая идея была усвоена только в Х-XI вв. Если мы понимаем под синусом угла α в прямоугольном треугольнике OBC отношение катета BC (линия синуса) к гипотенузе OC (т.е. радиусу единичной окружности), то в средние века термином «синус» обозначали саму линию синуса BC. То же относится к косинусу, под которым понималась линия косинуса OB, и другим тригонометрическим функциям.

Рис. 1

Лишь постепенно, благодаря введению новых понятий, а также в результате разработки и усовершенствования математической символики, тригонометрия приобрела современный вид, наиболее удобный для решения вычислительных задач. Окончательный вид она приобрела в XVIII в. в трудах Л. Эйлера.

Существует также сферическая тригонометрия, рассматривающая соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов. Она является частью сферической геометрии и возникла исторически раньше тригонометрии на плоскости из потребностей практической астроном

УГОЛ

Угол - самая простая геометрическая фигура после точки, прямой, луча и отрезка. Если в плоскости из точки O провести два различных луча OA и OB, то они разобьют плоскость на две части, каждая из которых называется углом с вершиной O и сторонами OA и OB. Угол I на рис. 1 выпуклый (см. Выпуклые фигуры), угол II невыпуклый. Если лучи OA и OB дополняют друг друга до прямой, то оба получающиеся угла выпуклые и называются развернутыми. Как геометрические фигуры они совпадают с полуплоскостями, на которые плоскость разбивается прямой AB (рис. 2). Если в одном из развернутых углов AOB провести луч OC, то он разделит угол AOB на два выпуклых угла AOC и COB, которые называются смежными (рис. 2). Две пересекающиеся в точке O прямые AB и CD разбивают плоскость на две пары выпуклых так называемых вертикальных между собой углов: AOC и BOD, AOD и BOC (рис. 3). Вертикальные углы, например AOC и BOD, равны между собой: один из них можно совместить с другим поворотом около точки O.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Луч, делящий угол пополам и имеющий начало в вершине угла, называется его биссектрисой. Биссектриса развернутого угла делит его на два равных смежных угла, называемых прямыми углами. Биссектрису угла легко построить с помощью циркуля и линейки, даже не меняя раствор циркуля (рис. 4). Для развернутого угла просто построить и трисектрисы, или, как говорят, выполнить его трисекцию, т.е. разделить угол на три равные части. Еще в V в. до н.э. была сформулирована задача о трисекции произвольного угла (см. Классические задачи древности), но лишь в XIX в. математики доказали, что разрешить эту задачу с помощью только циркуля и линейки в общем случае нельзя.

Рис. 4

Конечно, это не означает, что трисектрисы не существуют. На рис. 5 показано, как выполняется трисекция угла AOB с помощью циркуля и линейки с двумя отмеченными на ней точками P и Q: сначала строится окружность S радиуса PQ, а потом линейка помещается так, чтобы ее край проходил через точку B, точка Q лежала на S, а точка P - на дополнительном к OA луче OA' (простой подсчет углов равнобедренных треугольников OPQ и BOQ дает, что угол APB втрое меньше угла AOB).

Рис. 5