Энциклопедический словарь юного математика

где A_i - величина (в радианах) двугранного угла при ребре OA_i  (i = 1,2,...,n).

Углом между двумя скрещивающимися прямыми a и b называется угол между проведенными через одну точку параллельными a и b прямыми. Угол между пересекающимися прямыми - это наименьший из получающихся при пересечении плоских углов (т.е. углов между лучами). Аналогично определяется и угол между пересекающимися плоскостями. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее прямоугольной проекцией на плоскость; если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними считается равным 90°. Углы между параллельными или совпадающими прямыми и плоскостями считаются равными 0°, так что все перечисленные в этом абзаце углы заключены в пределах от 0° до 90°.

УРАВНЕНИЕ

Уравнение - это два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными. Решить уравнение - значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.

В школьном курсе, как правило, рассматривают уравнения, в которых неизвестные принимают числовые значения. Числовое значение неизвестного, удовлетворяющее уравнению с одним неизвестным, называется корнем или решением этого уравнения. Набор чисел, удовлетворяющих уравнению с несколькими неизвестными, называется его решением.

В математике рассматривают также уравнения, в которых неизвестными являются целые числа (диофантовы уравнения), векторы (векторные уравнения), функции (дифференциальные, интегральные, функциональные уравнения) и объекты другой природы. Вместе с уравнением указывают его область определения (множество допустимых значений неизвестных); если это не сделано, то предполагается, что это естественная общая область определения выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения.

Уравнение одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение (или систему уравнений) для определения неизвестной величины.

Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений окончательно сложилась в XVI в.; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита x, y, z, …, а известные величины (параметры) - первыми a, b, c, ... идет от французского ученого Р. Декарта.

Обычный путь алгебраического (чаще говорят, аналитического) решения уравнения состоит в том, что с помощью преобразований его сводят к более простым уравнениям. Если все решения одного уравнения являются решениями другого, то второе уравнение называется следствием первого. Если каждое из двух уравнений - следствие другого (т.е. множества их решений совпадают), то такие уравнения называются равносильными. Применяя к обеим частям уравнения одно и то же преобразование, мы приходим к следствию этого уравнения. Если же это преобразование обратимо, то получается уравнение, равносильное данному. (Например, умножая обе части уравнения на одно и то же число, мы получаем следствие данного уравнения. Если это число отлично от нуля, то выполненное преобразование обратимо, так что полученное уравнение равносильно исходному).

Решая уравнение с одним неизвестным, мы пытаемся прийти к простейшим уравнениям, для решения которых есть готовые формулы. Эго линейные уравнения, квадратные уравнении, уравнения вида φ(x) = c, где c - число, а φ - одна из основных элементарных функций: степенная φ(x) = xⁿ, показательная φ(x) = a^x, логарифмическая φ(x) = log_a(x), тригонометрические φ(x) = sin x, φ(x) = cos x, φ(x) = tg x.

Заметим, что запись общего решения уравнения φ(x) = c требует введения функции ψ, обратной к функции φ. Если φ(x) = xⁿ, то ; если φ(x) = a^x, то ψ(x) = log_a(c); если φ(x) = sin x и -π/2 ≤ x ≤ π/2, то ψ(c) = arcsin c.

Как же сводятся уравнения к простейшим? Для конкретного типа уравнений (алгебраических, тригонометрических, иррациональных, показательных, логарифмических и т.п.) разработаны частные приемы решения. Из общих методов решения уравнений остановимся на трех, которые встречаются чаще всего.

Если левую часть уравнения f(x) = 0 удается разложить на множители: f(x) = f₁(x)·...·f_m(x), то оно распадается на уравнения f₁(x) = 0, f₂(x) = 0, …, f_m(x) = 0, объединение множеств их решений дает множество решений данного уравнения. Например, уравнение x³ - 7x + 6 = 0 можно решить так:

(x³ - x)-(6x - 6) = 0,

x(x - 1)(x + 1) - 6(x - 1)= 0,

(x - 1)(x² + x - 6) = 0.