Энциклопедический словарь юного математика

Рассмотрим классическую схему вероятности. Имеется n элементарных равновероятных событий. Событию A благоприятствуют какие-то j из них, событию B благоприятствует k и m - событию AB. Согласно определению P{A/B} = m/n = k/n · m/k. Но первый множитель правой части этого равенства равен P{B}, а второй – вероятность события A при условии, что B наступило. Таким образом, P{AB} = P{B}·P{A/B}. Точно такими же рассуждениями доказываем, что P{AB} = P{A}·P{B/A}. Из этих равенств, носящих название теоремы умножения вероятностей, вытекает, во-первых, что если A независимо от B, то и B независимо от A. Во-вторых, следует равенство P{A/B} = P{AB}/ P{B}.

Для общего определения вероятности равенство P{A/B} = P{AB}/ P{B} служит определением условной вероятности. Ясно, что и в этом случае имеет место теорема умножения, которая является второй основной теоремой.

Третьей основой вычислений в теории вероятностей служит так называемая формула полной вероятности. Пусть события A₁,A₂,...,A₅ попарно несовместны и пусть событие B наступает только в том случае, когда происходит одно из событий A_j. В этом случае имеет место равенство B = BA₁ + BA₂ + ... + BA₅.

Отсюда .

В развитии теории вероятностей важную роль играла и продолжает играть так называемая схема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти событие A с одной и той же в каждом из испытаний вероятностью p и не произойти с вероятностью q = 1 - p. Вероятность того, что при этом событии A появится ровно m раз, а событие Ā (не A) n-m раз, вычисляется по формуле

.

При больших n вычисления по этой формуле довольно сложны и технически трудны; для этого обычно используют приближенную формулу (локальную теорему Муавра-Лапласа), согласно которой

.

В теоретических и прикладных задачах часто приходится находить суммы вида . При больших n, a и b такие вычисления требуют значительных усилий. Для их приближенного вычисления используется интегральная теорема Муавра - Лапласа, согласно которой

, , .

Обе теоремы дают очень высокую точность. Они относятся к так называемым предельным теоремам теории вероятностей.

Швейцарский математик Я. Бернулли (1654-1705) обнаружил фундаментальный факт теории, получивший название закона больших чисел в форме Бернулли. Пусть μ обозначает число появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие A наступает с вероятностью p.

Каково бы ни было число ε > 0, имеет место соотношение

,

т.е. что вероятность отклонения частоты μ / n появления события от p =  вероятности этого события больше, чем на ε, стремится к 0.

Наряду со случайными событиями в теории вероятностей и ее применениях рассматривают случайные величины. Представим себе, что при каждом наблюдении некоторая величина принимает какое-то значение в зависимости от случая; например, число космических частиц, попадающих за данный промежуток времени на определенную площадку поверхности; число обрывов пряжи, изготовленной из хлопка определенного сорта и заданного номера, при испытаниях на разрыв. Таких примеров можно привести сколько угодно.

Случайные величины различаются как теми значениями, которые они способны принимать, так и вероятностями, с которыми эти значения принимаются. Так, число вызовов от абонентов на телефонной станции за промежуток времени t может быть любым целым числом: 0, 1, 2, … . Как показывают многочисленные наблюдения, вероятность того, что число вызовов окажется равным k, согласуется с формулой P_k(t) = (1/k!)(λt)^ke^-λt, где λ - некоторая положительная постоянная.

Скорость молекулы газа также случайна и может принимать любые значения. Этих значений столько же, сколько положительных чисел. Как в этом случае задавать вероятности этих значений? Математики пошли по такому пути: стали определять не вероятность каждого из возможных значений, а вероятность того, что случайная величина ξ примет значение меньшее, чем заданное значение x:P{ξ. Функция F(x) получила наименование функции распределения случайной величины ξ. Из теоремы сложения легко вывести следующее важное равенство: P{a ≤ ξ < b} = F(b) - F(a), позволяющее по функции распределения определять вероятность выполнения указанного неравенства.

АНДРЕЙ АНДРЕЕВИЧ МАРКОВ

(1856-1922)

А. А. Марков русский математик, представитель петербургской математической школы. Он родился в Рязани. В 1874 г. поступил на физико-математический факультет Петербургского университета, где под влиянием П. Л. Чебышева занялся теорией непрерывных дробей и теорией чисел.