Энциклопедический словарь юного математика

В 1884 г. Марков защитил докторскую диссертацию, посвященную непрерывным дробям, в которой доказал и обобщил некоторые неравенства Чебышева, опубликованные раньше без доказательств. Маркову принадлежат также многочисленные работы по различным разделам математического анализа. В 1890 г. за глубокие научные исследования Марков был избран академиком Петербургской академии наук.

С конца 90-х гг. XIX в. главным предметом исследований ученого стала теория вероятностей. Здесь он продолжил работу своего учителя П. J1. Чебышева и ввел новый объект исследования – последовательности зависимых случайных величин, получившие в дальнейшем название марковских цепей. Так называют последовательности случайных величин, для которых вероятность появления того или иною значения на (k+1)-м шагу зависит лишь от того, какое значение эта величина приняла на k-м шагу, и не зависит от значений величины на 1-м, 2-м, ..., (k-1)-м шагах.

Марковские цепи сразу после их открытия не нашли практических приложений, и ученому пришлось применять свои результаты к распределению гласных и согласных букв в поэме А. С. Пушкина «Евгений Онегин». Ведь за согласной чаще идет гласная, а за гласной – согласная, и в первом приближении можно считать, что вероятность появления гласной на (k+1)-м месте зависит лишь от того, гласной или согласной является буква, стоящая на k-м месте. Но, как всегда бывает с глубокими научными результатами, в дальнейшем были обнаружены гораздо более важные для практики области приложения марковских цепей (например, теория массового обслуживания). Из теории марковских цепей возникла общая теория случайных процессов, которая применяется при изучении лавинных процессов и других проблем.

А. А. Марков был страстным и убежденным борцом против произвола и несправедливости царского режима, выступал против попыток подчинить преподавание математики в школе религиозным взглядам. Он отказался от царских орденов, подал в Синод просьбу об отлучении от церкви, указав в ней, что не сочувствует всем религиям, которые, подобно православию, поддерживаются огнем и мечом и сами служат им. Резкие выпады против веры в чудеса содержатся в учебнике А. А. Маркова «Исчисление вероятностей», опубликованном в дореволюционное время. После выхода книги ученого обвинили в безбожии и «подрыве основ». От преследований его избавил лишь крах царского режима.

------------------------------------------

В теории вероятностей и ее применениях важную роль играют числовые характеристики случайных величин – математическое ожидание и дисперсия. Мы дадим их определение для дискретных случайных величин. Пусть x₁, x₂,... - возможные значения случайной величины ξ и p₁, p₂,... - вероятности этих значений, тогда сумма

называется математическим ожиданием ξ, а E(ξ - Eξ)² = Dξ - дисперсией ξ.

П.Л. Чебышев доказал закон больших чисел в очень общей форме, а именно: пусть ξ₁, ξ₂, ... - последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями a₁, a₂,... и дисперсиями Dξ_k, ограниченными одной и той же величиной C, тогда для любого положительного ε > 0 выполняется

.

Вторая предельная теорема получила наименование теоремы Ляпунова, или центральной предельной теоремы: если случайные величины ξ₁, ξ₂, ... независимы, имеют конечные математические ожидания a₁, a₂,... и дисперсии Dξ_k = b²_k, то при дополнительном условии равномерной малости отдельных слагаемых имеет место:

,

где .

Эта теорема является значительным обобщением интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

В нашем веке в связи с физическими, биологическими, инженерными и другими исследованиями возникла необходимость рассматривать случайные процессы ξ(t), т.е. случайные функции от одного независимого переменного t, под которым обычно понимается время.

Теория случайных процессов в наши дни является одним из основных математических средств изучения явлений реального мира.

Первые задачи теории вероятностей были рассмотрены Л. Пачоли (1445-ок. 1514), Д. Кардано (1501-1576), Н. Тарталья (ок. 1499-1557), Б. Паскалем (1623-1662), П. Ферма (1601-1665), X. Гюйгенсом (1629-1695). В качестве самостоятельной научной дисциплины теория вероятностей стала оформляться в работах Я. Бернулли (1654-1705), А. Муавра (1667-1754), П. Лапласа (1749-1827), С. Пуассона (1781-1840). Ее последующее развитие связано с именами П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова (1857-1918), А. Я. Хинчина (1894-1959), С. Н. Бернштейна (1880-1968), А. Н. Колмогорова (1903-1987) и других.

ВИВИАНИ КРИВАЯ