Есть идея!

Наберите пригоршню монет и, бросив ее на стол, сосчитайте, сколько монет выпало вверх гербом. Если число гербов окажется четным, мы скажем, что гербы имеют «четную четность». Если число гербов на столе окажется нечетным, мы скажем, что гербы имеют «нечетную четность». Выбрав наугад две монеты, переверните их и повторите эту операцию сколько угодно раз (выбирая пары монет каждый раз наугад). Вы обнаружите удивительную закономерность: независимо от того, сколько пар монет перевернуто, четность гербов остается неизменной. Если сначала она была нечетной, то она останется нечетной, а если была четной, то останется четной.

Сохранение четности гербов лежит в основе остроумного фокуса с монетами. Повернувшись спиной к столу, на котором разложены монеты, попросите кого-нибудь перевернуть наугад сколько угодно пар монет и, выбрав любую монету по своему усмотрению, накрыть ее рукой. Повернувшись лицом к столу и взглянув на монеты, вы можете безошибочно сказать, как лежит закрытая рукой монета — вверх или вниз гербом. Секрет фокуса очень прост. Прежде чем отвернуться от стола, вы пересчитываете монеты, лежащие вверх гербом, и запоминаете, какое число — четное или нечетное — получилось. Переворачивание любого числа пар монет не изменяет четности числа гербов. Поэтому повернувшись к столу, вы лишь пересчитываете заново монеты, лежащие вверх гербом, и узнаете, как лежит закрытая рукой монета — гербом вверх или вниз.

Фокус можно показывать и по-другому. Пусть ваш помощник закроет рукой не одну, а две монеты. Вы сможете безошибочно сказать, лежат ли они обе вверх гербом или «решкой», или же одна монета лежит гербом вверх, а другая — гербом вниз. Аналогичные проверки на четность лежат в основе многих хитроумных карточных фокусов.

Проф. Квиббл и его домашние животные

Перед вами снова проф. Квиббл.

Проф. Квиббл. У меня есть для вас новая головоломка. Сколько у меня домашних животных, если все они, кроме двух, собаки, все оии, кроме двух, кошки и все они, кроме двух, попугаи?

Ну как, решили?

У проф. Квиббла всего 3 домашних животных: собака, кошка и попугай. Все они, кроме двух, собаки, все они, кроме двух, кошки, и все они, кроме двух, попугаи.

Один за «всех» и «все» за одного

Эту задачу-головоломку, кажущуюся на первый взгляд неприступной, легко решить «в уме», если понять, что слово «все» может относиться и к одному-единственному животному. Требуемое решение мы получаем в простейшем случае, когда имеется 1 собака, 1 кошка и 1 попугай. Однако решение задачи полезно представить в алгебраическом виде.

Пусть x — число собак, y — число кошек, z — число попугаев, а n — общее число животных. Тогда условия задачи позволяют записать следующую систему из 4 уравнений:

n = x + 2

n = y + 2

n = z + 2

n = x + y + z

Решить ее можно многими стандартными способами. Из первых трех уравнений видно, что x = y = z. Так как n = x + 2 и n = Зx (из последнего уравнения), то x + 2 = 3x, откуда x = 1, и мы получаем полный ответ задачи: x = y = z = 1.

Поскольку x, y и z в таких задачах принимают, как правило, целые положительные значения (кто станет держать у себя треть кошки или четверть попугая?), то задачу о домашних животных проф. Квиббла можно отнести к так называемым диофантовым задачам. Так принято называть задачи, сводящиеся к решению алгебраических уравнений в целых числах. Иногда диофантовы уравнения не имеют решений или допускают только одно решение. Существуют также диофантовы уравнения, имеющие более одного решения и даже бесконечно много решений. Вот, например, еще одна несколько более трудная диофантова задача о трех видах домашних животных, также сводящаяся к решению системы линейных уравнений.

Корова стоит 10 долларов, свинья — 3 доллара, а овца — 50 центов. Фермер купил по крайней мере 1 корову, 1 свинью и 1 овцу, израсходовав на покупку всего 100 долларов. Сколько и каких животных он купил?

Пусть x — число коров, y — число свиней и z — число овец. Тогда условия задачи можно записать в виде двух уравнений:

10x + 3y + z/2 = 100,

x + y + z = 100.

Умножив правую и левую часть первого уравнения на 2, избавимся от двойки в знаменателе, после чего вычтем из первого уравнения второе. Тем самым мы исключим z и получим «укороченное» уравнение

19x + 5y = 100.

Какие целочисленные значения могут принимать x и y? Один из способов получить ответ на этот вопрос состоит в том, чтобы преобразовать уравнение, оставив в левой части только член с наименьшим коэффициентом при неизвестном: 5y = 100 − 19x. Разделив обе части уравнения на 5, получим у = (100 − 19x)/5. Разделим теперь 100 и 19x на 5, выделив заведомо целую часть и дробный остаток (если он существует):

y = 20 − Зx − 4x/5.