Есть идея!

Дик. Другой точки, кроме Северного полюса, нет и быть не может, и я берусь доказать это. Предположим, что самолет вылетает из точки, расположенной между Северным полюсом и экватором.

Дик. Ясно, что в этом случае конечная точка маршрута не может совпадать с исходной. Если же самолет вылетает из точки, расположенной на экваторе, то конечная точка маршрута оказывается примерно в 100 км от исходной точки.

Дик. Если же самолет вылетает из точки, расположенной в южном полушарии, то конечная точка будет отстоять от исходной более чем на 100 км.

Дэн. Может, ты хочешь поспорить на 2 доллара, что самолет не мог вылететь ниоткуда, кроме Северного полюса?

Дик принял пари и проиграл. Почему?

Предположим, что самолет стартовал из точки, расположенной на параллели А, отстоящей на расстояние 116 км от Южного полюса, и пролетел к югу 100 км.

Пролетев 100 км на восток, он совершит полный оборот вокруг Южного полюса. Пролетев затем 100 км на север, он непременно вернется в исходную точку.

Дик. Ты прав, вот твои 2 доллара.

Дэн. Ставлю еще доллар, что, по-твоему, я не смогу указать других мест на земном шаре, вылетев откуда и пролетев сначала 100 км на юг, затем 100 км на восток и 100 км на север, самолет сможет вернуться в исходную точку. Под «другими местами» я понимаю точки, не лежащие на параллели А и не совпадающие с Северным полюсом.

Дик. Тогда ставлю 50 долларов, что таких точек на земном шаре нет.

Бедный Дик снова проиграл. Какую важную идею он упустил из виду?

Откуда вылетать?

Заключая второе пари, Дик упустил из виду весьма важное обстоятельство: точка, откуда вылетает самолет, может быть выбрана так близко от Южного полюса, что, пролетев 100 км на восток, он опишет вокруг полюса не один оборот, как в предыдущем решении, а два полных оборота. Так возникает новая параллель, все точки которой служат решениями исходной задачи. Аналогичным образом самолет может вылететь из любой точки еще меньшей окружности и, держа курс на восток, совершить три, четыре и т. д. оборота вокруг полюса. При любом целом положительном n можно указать соответствующую параллель, вылетев из любой точки которой и держа курс на восток, самолет совершит n оборотов вокруг полюса. Следовательно, точки, из которых может вылететь самолет, заполняют бесконечно много параллелей, стягивающихся к полюсу,

А вот еще одна навигационная задача, связанная с замечательной кривой на сфере — локсодромой, или линией постоянного курса. Самолет вылетает из точки, расположенной на экваторе, и берет курс на северо-восток. Где закончится его полет, если запасы горючего можно считать неограниченными? Какова длина маршрута и как он выглядит?

Возможно, вы удивитесь, когда узнаете, что маршрут полета имеет вид спирали, пересекающей все меридианы под одним и тем же углом и заканчивающейся на Северном полюсе. Такую кривую правильнее было бы рассматривать как винтовую линию, навитую на сферу, стягивающуюся к Северному полюсу и успевающую описать вокруг полюса бесконечно много витков. Если самолет условно принять за точку, то маршрут, хотя и успевает совершить бесконечно много оборотов вокруг полюса, имеет конечную длину, которая поддается вычислению. Следовательно, поддерживая в полете постоянную скорость, самолет достигнет Северный полюс за конечное время.

При нанесении на плоскую карту форма локсодромы искажается в зависимости от выбора картографической проекции. На меркаторской проекции, известной по карте мира, локсодрома переходит в прямую. Именно поэтому меркаторская проекция находит столь широкое применение в решении навигационных задач. Если судно или самолет следуют постоянным курсом, то, чтобы проложить его на карте, достаточно провести прямую.

А что произойдет, если самолет, взлетев с Северного полюса, возьмет курс на юго-запад? Эта задача обратна предыдущей. Полет, как и прежде, будет происходить по локсодроме, но сказать, где приземлится самолет в конце пути, мы не можем. В этом можно легко убедиться, обратив время: из какой бы точки, расположенной на экваторе, ни вылетел самолет, он, двигаясь вспять, неизменно окажется на Северном полюсе. Если же самолет, достигнув экватора, пересечет его и будет лететь тем же курсом, то локсодрома стянется к Южному полюсу.

При проецировании на плоскость, касательную к полюсу (и параллельную плоскости экватора), локсодрома переходит в равноугольную, или логарифмическую, спираль. Эта спираль пересекает радиус-вектор под постоянным углом.

Задача о четырех жуках, входит в сокровищницу занимательной математики. Она также связана с построением маршрутов и логарифмической спиралью, но допускает неожиданно простое решение, избавляющее от необходимости производить утомительные выкладки. Вы познакомитесь с ней, прочитав небольшой рассказ о семействе Пицца и их любимцах — четырех черепашках.