Эта странная математика

Некоторые люди полагают, государь Гелон, что число песка по величине бесконечно; я говорю не только о песке, который имеется в окрестностях Сиракуз и остальной Сицилии, но и о том, который имеется во всех странах, как населенных, так и не населенных. Есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества[43].

Архимед, считавший, что “математика… открывает свои тайны только тому, кто приближается к ней с чистой любовью, ради ее собственной красоты”[44].

Чтобы подготовить почву для своих расчетов космического масштаба, Архимед взялся для начала расширить существовавшую в то время систему наименования больших чисел – а это основная проблема, с которой сталкивались с тех пор все математики, пытавшиеся описывать все бо́льшие и бо́льшие целые числа. Греки называли число 10 000 “мюриас”, что подразумевает неисчислимость. У римлян же оно называлось “мириадой”[45]. В качестве точки отсчета на пути в мир огромных чисел Архимед использовал “мириаду мириад”, то есть 100 000 000, или, если использовать современное экспоненциальное представление, 10⁸. Число это намного превышало любое, для какого у греков нашлось бы практическое применение. Все числа, идущие до мириады мириад, Архимед назвал “первыми”. Те, что шли вплоть до мириады мириад, помноженной на мириаду мириад (то есть до единицы с 16 нулями, или 10¹⁶), он отнес ко “вторым”; потом перешел к “третьим”, “четвертым” и так далее, причем каждый последующий разряд в его схеме был в мириаду мириад раз больше предыдущего. В конце концов он достиг “мириад-мириадного” разряда, то есть числа 10⁸, умноженного само на себя 10⁸ раз (или 10⁸ в степени 10⁸). Таким порядком Архимеду удалось описать числа длиной вплоть до 800 000 000 знаков. Их он отнес к “числам первого периода”. Само число 10^{800 000 000} он принял за начало второго периода, после чего повторил весь процесс снова. Для второго периода Архимед применил ту же методику, что и для первого, увеличивая каждый последующий разряд в мириаду мириад раз до тех пор, пока в конце мириад-мириадного периода не достиг колоссального числа 10^{80 000 000 000 000 000}, или мириады мириад, возведенной в степень, равную мириаде мириад, умноженной на мириаду мириад.

Как выяснилось позже, для того чтобы реализовать свой проект по подсчету песчинок, Архимед мог ограничиться и первым периодом. Согласно тогдашним представлениям о космосе, весь мир вплоть до неподвижных звезд имел объем шара с диаметром в два световых года, в центре которого находилось Солнце. Оценив размер песчинки, Архимед пришел к следующему выводу: чтобы превратить космос в гигантский песчаный пляж, потребуется 8 × 10⁶³ песчинок, то есть всего-навсего число восьмого разряда первого периода. Даже если взять рассчитанный современными учеными диаметр наблюдаемой Вселенной – 92 миллиарда световых лет, – ее объем не сможет вместить больше 10⁹⁵ песчинок, а это все равно число лишь двенадцатого разряда первого периода.

Возможно, в западном мире Архимед и был чемпионом по большим числам, но ученые мужи Востока в поисках числовых тяжеловесов уже скоро побьют все его рекорды. В написанном на санскрите индийском тексте приблизительно III века “Лалитавистара” Будда Гаутама описывает математику по имени Арджуна систему счисления, начинающуюся с “коти” – 10 000 000 на санскрите. После коти идет длинный перечень имеющих собственные названия чисел, каждое из которых в 100 раз больше предыдущего: 100 коти называются “аюта”, 100 аюта называются “ниюта”, и так далее, до числа “таллакшана”, представляющего собой единицу с 53 нулями. Он называет и бо́льшие числа, такие как “дхваджагравати”, равное 10⁹⁹, вплоть до гиганта “уттарапараманураджаправеша” – 10⁴²¹.